On vient de démontrer que réquation différentielle

(i) Udx-^^dy=:o

admet toujours une intégrale contenant une constante arbitraire G. Cette équation intégrale, résolue par rapport à C, prendra la forme

u étant une fonction de x eij qui ne renferme pas G. On tire de l'équation (2)

du

du du

-— r/x + — - dy z= 0, dx dy

d'où

dy

dx~

~ Tu

dy

dr ]M

Or, l'équation (i) donne — = — — • On doit donc avoir

dit

Tx M

Getle équation doit être identique, car s'il en était autrement, elle établirait entre les variables une relation en vertu de laquelle j serait une'fonction de x sans con-

stante arbitraire, puisque M, i\, —•> -- n en contiennent

pas. Or, à cause de l'équation w = G, y doit dépendre de x et de la constante C.

L'équation (3) peut être mise sous la forme

du du dx dy Il ~ IT ~ ^'

en désignant par v cliacun de ces quotients. On lire de là

du du

dcx dy

donc

du=zv [Isldx -h^dy).

Ainsi, il existe toujours un facteur p», fonction de x et de y^ propre à rendre le premier membre de V équation une differenliclle exacte.

Quand on saura trouver ce facteur et l'intégrale u de la diiïérentielle totale ^^ {Mdx + N<i)^), u = C sera l'intégrale de l'équation (i).

532. // existe une infinité de facteurs propres à rendre le prenner menû)re de Véquation (i) une différentielle exacte. En eflet, si nous multiplions les deux membres

de l'équation

i> [ M dx 4- N dy ) = du

par une fonction quelconque de z/, 9 ("), il vient vvj[u) [^Idx -{- ^dj) = (p (u) du =: df^ [u] du.

Ainsi, i^c^(ii) [Mdx-\-^dj) est encore une différentielle exacte, elle facteur v^(u.)]o\ùi de la même propriété que le facteur r.

Exemple, xdy — ydx = o. Cette équation donne

^z=-^", d'où r = Cx, ou ^=.C=:u. y X " X

Le facteur, ^^, le plus simple qui rend xr/}^ — jdx une dif-

QUAIIANTE-DEUXIÈME LFÇOJV. 65

férentielle exacte est donc — • Tout autre facteur, va^lu], est de la forme — 9 ( - ) •

Ainsi 'p(id) =: u donne le facteur ^, et l'on a

xydy — r'^dx 1 r^

9 (//) ■=: - donne le facteur — et

ç (//) ==: donne le facteur et

J?</}^ Y dx y

, , ' , = d arc taniî - .

533. Réciproquement tout fadeur V propre à rendre Ai dx -4- N <^/>^ u/ze différentielle exacte est de la forme i^o(u). En effet, soit

\{Mdx-hNdf)^d\] :

on a

v{Udx -+-Ndy)~du; donc

dlj = - du.

Cette relation entraîne les suivantes :

/jx dlJ^VdiL dV V du

d.r V dx dy p dy '

Soit u=^f{x,j). Si l'on tire de cette écjualion la valeur de j en fonction de u et de x, et qu'on la porte dans la valeur de U, 011 aura

^ — wi "> •^}.

Stirm. — ^// II. /t

Différentiant cette équation, il vient

dV d^h du

dx du d.r.

d\S d^ du

dy du dy

s relations (i),

ces éqiialioijs

iloiiiienl

d-^ V d-^ du V dx

Celle dernière relation montre que x n'entre pas expiiez 4^ du

cîtement dans la fonction ^. Donc ^ et par suite —5 ou

- 5 sont des fonctions de u. On a donc

ou

ce qu'il fallait démontrer.

534. On peut encore établir ce lliéorème de la manière suivante :

Pour que l'équation différentielle soit satisfaite, il faut

que X ely varient de telle sorte, que l'on ait u=^Ça\ on

aura alors du = o, et par conséquent d\] r=r o, à cause de

la relation d\} = — du. 11 suit de là que U devra toujours

conserver la même valeur tant que u conservera aussi sa valeur G, ce qui ne pourrait avoir lieu si la fonction U étant mise sous la forme ?];(f/, x)^ x restait explicitement dans cette fonction.

Le principe sur lequel repose cette seconde démonstration peut être généralisé ; //, U,^ étant des fondions d^un nombre quelconque de variables^ si Von a d\] = qdu, on aura U = op (w) ; car en éliminant une de ces variables.

QUARANTE-DEUXIÈME LEÇON. Gj

X par exemple, ou pourrait écrire

V =: -il {Uj X, Z. . .).

Or, pour toutes les valeurs de x, ^, z,... qui conservent à u une valeur constante, on a du =-. o, et par conséquent d\J = o, ce qui ne pourrait avoir lieu si y, z,. . . entraient dans la fonction ^.

535. Si deux facteurs \ et s^ rendent différentielle exacte l'expression M r/.r H- N <^ , leur rapport égalé à une constante sera Vintéi^rale de Véquation

M^.i + ^df=o.

Car de

- --C, ou (f(?i) — C,

on tire « = c.

DÉTERMINATION DU FACTEUR t^.

536. La condition nécessaire et suffisante pour que V [^Idx -'- Nrfy-) soit une différentielle exacte est

(Ij dx

ce qui revient à l'équation

^^ dx df \dy dx j

Quoique celte équation soit en général aussi difficile à résoudre que la proposée, elle peut cependant, dans quelques cas, servir à trouver le facteur \f :

1^ Si v^ ne doit dépendre que d'une seule variable, x par dv exemple, on a — - =^ o, et l'équation (i) se réduit à

\ dv ^ dy d.T

Par hypothèse, le premier membre ne dépend que deo: j

donc, on doit avoir

dm dN

Cette coudition est sufiTisante j car si elle est remplie, on satisfera à l'équation (2) en prenant

Le calcul est plus simple si Ton suppose N = i, c'està-dire si l'on met l'équation proposée sous la forme dj -h ^Idx = o, ce qui est permis. On a, dans ce cas,

d où

L^équation proposée devient

dr

Il suffit donc, pour rendre différentielle exacte le premier membre de cette équation, de le multiplier par c^^"^'. On a

eSVdx !^ ^ p je/i''^^ -h- 06^/"*^- — o ; dx

d'où (499)

^/ïVx^^ /q^'/i'^^-^x — C.

C'est le cas de l'équation linéaire (511).

2" Si le facteur p» est de la forme XY, X étant une fonction de x^ et Y une fonction de j^ on a

dv ^^ r/X r/p ^ r/Y

rt.r dx df cty

et l'équalion (i) revient à

Xdx ~ Ydj- ~ ~dy ~dx '

QUARANTE-DEUXIÈME LEÇON. 6o

fi M d^ Si cette condition est remplie, on aura

X = eff ^•^) '^•^, Y — rf'P (y ) ^y,

537. L'emploi du facteur ^ donne les méthodes précédemment exposées : ainsi, la séparation des variables dans l'équation

XYr/.r-f-X.Y,r/ji=o,

où X et Xt désignent des fonctions de x^ et Y, Y, des fonctions de y^ revient à multiplier l'équation proposée

par le facteur

La transformation employée dans l'intégration de l'équation homogène revient aussi à la détermination d'un facteur qui rend le premier membre inlégrable. En effet, l'équation (3) du n^ 506 n'est autre chose que Téquation proposée divisée par x'"+* [çp(2)4--26(z)]. En remplaçant z par ^, x'"Q y-\ par M, x'"'^ (^^ par N, on voit

que le facteur v est, dans ce cas,

iM X + IS y Il est d'ailleurs facile de vérifier que ^--^ ^ —- est

alors une différentielle exacte. Il suffit, pour cela, de démontrer que

dy ~ dx '

Cette équation revient, après quelques transformations, à la suivante :

dy)

70 COLTHS D ANALYSE.

OU

TsM//? — NM/w = o,

car les fonctions M et N étant homogènes et de degré m, on a identiquement (I, 178)

dx '^ df ' dx -^ dy

Si le premier membre de l'équation homogène est déjà une différentielle exacte, on pourra prendre pour premier

facteur i , et pour second — • Leur rapport, égalé

à une constante, donnera l'intégrale qui sera, par conséquent,

Mx H- NjrrrC.

EXERCICES