Toute équation difTérenlielle du premier ordre

-^=/(^, j), on M<i^ + Nr/j = o dx

admet une intégrale contenant une constante arbitraire, c'est-à-dire qu'il existe toujours une équation contenant 07, j* et une constante arbitraire telle, qu'en la différentiant et éliminant la constante, on retrouve l'équation proposée.

En effet, Fintégration de l'équation proposée consiste à trouver une fonction de x^ désignée parj}'"? telle, que sa dérivée soit égale ày(j:,^), ou, en d'autres termes, telle, qu'en donnant à x l'accroissement infiniment petit dx^ l'accroissement correspondant dj soit égal kf[x^y) dx. Puisque Téquation différentielle dj = f[x^j)dx ne détermine que raccroissement de j , on peut se donner arbitrairement la valeur de y pour une valeur particulière de x. Si l'on prend J ^=h pour x =^ a, f [a^ b) h sera l'accroissement infiniment petit dej lorsque x passera de la valeur a à une valeur infiniment voisine a -+- h. De môme, si l'on pose

a-^h = a' et b' = b -hf{aj b) h, f[a'^ h') h sera l'accroissement de y lorsque x passera

de a' à a'-\-li. En conliniiaut ainsi à faire croître x par degrés insensibles jusqu'à une valeur quelconque, Téquation différentielle déterminera les accroissements successifs de j>^, de sorte que la valeur dej' correspondant à chaque valeur de x sera complètement déterminée. Par conséquent y sera une certaine fonction de x, et cette fonction dépendra nécessairement de la constante arbitraire b -, ce qu'il fallait démontrer.

IL EXISTE UN FACTEUR PROPRE A RENDRE DIFFÉRENTIELLE EXACTE LE PREMIER MEMBRE d'uNE ÉQUATION DU PREMIER ORDRE.