Soient
(i) Mdj:-\-^df=o ou ^— /(.r,j)
une équation différentielle, et
son intégrale. Differentions cette dernière équation par rapport à x *, nous aurons
Si l'on élimine c entre cette équation et la précédente,
dF
on doit obtenir l'équation (i), ce qui exige que - - de-
vienne identique à — quand on remplace dans ce quotient c par sa valeur tirée de l'équation (2), et cette élimination conduirait encore à une identité, lors même que c serait une fonction de a: et de j^.
df dx ~
d.v dF
df
7'^ coulis D ANALYSE.
o39. Cela posé, je dis que si Ton connaît rintcgialc ¥^ [x,y, c) = o d'une équation différentielle, on peut déterminer les solutions singulières de cette équation.
Soit
une solution singulière, c'est-à-dire une équation qui satisfasse à l'équation (i), mais qui ne puisse se déduire de l'intégrale générale en attribuant à la constante une valeur particulière. On peut faire rentrer Téquation (p {x,y) = o dans cette intégrale, en y remplaçant c par une fonclion convenable, car il suffit de poser
(5) F{.r, j, c) =cf[x,y),
d'où Ton déduit la valeur de c en fonclion de x et de /. Cette valeur étant déterminée, si l'on différentie l'équation (2) par rapport à x, on aura
clF d¥ dj dY de
dx df dx de dx '
d'où l'on tire
dY dY .f., dy dx (le de
^ ' dJc '~~ ~ 7lV ~ 7lY "dx'
L'élimination de c entre les équations (2) et (6) doit conduire à l'équation y- z=r.f{^x^j). Donc l'équation (6)
dy . iLx se réduit à —- ^=^j\x^y). Or, iz-^^ réduit à /(x, j^)
quand on remplace c par sa valeur tirée de 1 équation
F (^5 JTî ^) = o (S38) -, donc on doit avoir *
^F . , de de
^7) dl-d^ = ''^
dy équation à laquelle il faut joindre F [^Xyj^ c) == o.
Ql ARAME-TROISIÈME LEÇON. ^3
Le syslènie de ces deux équations se ramène aux deux suivants :
(î) pZ^~*^' (II) / ^"~^'
Or, le premier système donne c = une constante, et, par suite, on retombe sur l'intégrale générale. Le second se partage en deux :
(III) h^""*^' (IV) Mr "~^'
En éliminant centre les deux équations de chacun de ces deux derniers systèmes, on obtiendra les solutions singulières de Féqnation proposée, pourvu qu'on omette les valeurs de c qui rendent simultanément nulles, ou infî-
riics, les deux lonclions-— 5 -— ? parce que la première
des équations (II) se présenterait sous la forme illusoire
- r= o, ou — = o : il faudra aussi rejeter les solutions qui
rentreraient dans l'intégrale générale en attribuant à c une valeur constante.
Ainsi, on obiiendia les solutions singulières cVune équation différentielle du premier ordre en éliminant (a constante entre V intégrale générale et sa dérivée par rapport à la constante^ égalée à zéro, ou bien entre celte même intégrale et sa dérivée par rapport à j^ égalée à r infini.
540. Quelle que soit la forme sous laquelle se présente l'équation intégrale F (x, y, c) ^rr o , Tapplication des règles précédentes doit toujours conduire aux mêmes
solutions. En efTel, le rapport— restera toujours le même
r/j quand on éliminera c au moyen de l'équation F = o, quoique chacune de ces dérivées change quand on transforme celle équation. Car en regardant j^ comme une fonction de c, on a
de dy "d^^dc'
valeur qui sera toujours la même, quel que soit F. Ainsi, lorsqu'une transformation de l'équation F (x,f^ c) = o
fera perdre des solutions à l'équation — - = o, elle les fera
^ de
acquérir a 1 autre équation ■ — =:= oo .
SOLUTIONS SINGULIÈRES DÉDUITES DU FACTEUR QUI REND INTÉGRABLE LE PREMIER MEMBRE DE l'ÉQUATION.
541 . Si l'on met l'intégrale sous la forme u — c == o, on aura
dF * "^ I •
'dF'~~~ dû,' dy dy
Ainsi, toutes les solutions singulières seront données par
l'équation -— = o. Mais — n'est autre que le facteur v
par lequel dy — f(x,j)dx devient une diiTérentielle exacte (531). Donc l'équation
- = o, ou (f = zo
contient toutes les solutions singulières.
