EXEMPLES DE SOLUTIONS SINGULIERES
xcla:" -\- ydy = dy ^jx' -\- j'^ — a^.
Divisons par \Jx^ -\- j^ — «% il vient
y.r- 4- j-* — a' dont l'intésfrale est
y H- c = \lx'' -t- y' — «%
OU
2CJ+ C^-l- rt^ — ^2- Q.
on aura donc
dY d¥
-— == 2r + 2C = G, OU ~—- = 2.C = de dy
= co
Cette dernière équation ne conduirait qu'à la valeur illusoire j^ = 00 . La première donne c ■= — j, et, par suite,
x"^ -\~ y- — a^ z=zi o,
solution singulière. Cette solution, qui représente une circonférence, n'est pas comprise dans l'intégrale générale, puisque celle-ci représente une suite de paraboles.
Comme le facteur p» est , on voit bien que
\Jx' -h 7' — «■-'
la solution singulière correspond à ptzz oo .
54-3. 2° Trouver la courbe dont la normale a une longueur constante.
L'équation différentielle est
d'où
, ydr
y6 cour.s d'analyse.
et, par suite,
(2) (j:-cy-hj'=a\
équation d'un cercle. Pour avoir les solutions singulières, il faut poser
dF
de X — c ^ ^
-j-r, = r= O ; d OU X z= c,
et, par suite,
On obtiendrait encore cette solution en égalant à l'infini le facteur -rr=r„-r=:z par lequel il faut multiplier Té-
quation proposée pour séparer les variables.
11 est à remarquer que les deux droites représcjitées par l'équation (3) sont tangentes à toutes les circonférences que représente l'intégrale générale (2).
544. 3^ Troiwer une courbe dont les tangentes soient à une distance constante^ «, de Vorigùie»
L'équation de la tangente menée par un point quelconque [oCyj) de la couibe, étant
l'équation différentielle du problème sera
(l) j=p.x-i-a<Ji-h-p\
En ditlérentiant par rapport à x. on a
o =: dp( .r -] zJ^IL=^ !
équation qui se décompose en deux équations :
ap dp=:o, X -^ = o.
La première donne p = c, d'où
(2) y =z ex -]- a \J i -h c\
La seconde donne
an
cette valeur étant portée dans l'équation (i), il en résulte
S'i-hp' élevant au carré et ajoutant les équations (3) et (4), on a
La solution générale (2) représente une infinité de droites, et la solution singulière (5) une circonférence à laquelle toutes ces droites sont tangentes.
5io. 4"
^ ^ dx
Les variables se séparent immédiatement, et l'on trouve pour l'intégrale générale
Pour obtenir les solutions singulières, on posera
de
dy d'où l'on déduit, en supposant « > o
yS COURS d'analyse.
Celte équation représente une solution singulière si n est<^ I, car, dans ce cas, on ne peut pas déduire y = a de l'intégrale générale. Si n est > i, j^ :=== a n'est plus une solution singulière, puisque l'équation intégrale étant mise sous la forme
on obtient y = a en faisant c ::= oo . Enfin, si n =: i^ l'intégrale générale est j^ — a =^ ce^, qui devient j" -~ a pour c = o, et il n'y a pas non plus, alors, de solution
singulière,
On verra facilement que l'hypothèse n<^o ne donne aucune solution singulière.
546. 5° Trouver une courbe telle, que le produit des perpendiculaires abaissées de deux points jixes F et F' sur la tangente soit constant et égal à b^.
Prenons pour axes la droite FF' et une perpendiculaire élevée au milieu de cette ligne. L'équation de la
Fig. Il 3.
^^~~l ^ et, par suite, les perpendicu-
laires abaissées des points donnés sur la tangente seront, en désignant OF par c,
FH^^Lr/^'^-^-/^,
s/i-hp-^
Fil':
pc
on aura donc
d'où
(y — p.xy — p^c^
(X -~pxYz=ù'-h {b^-fc^)p\
et, si l'on pose b- -{- c^ -
(l) Xz=zpx
QTJARAiVTE-TROISIÈME LEÇON. yg
équation d'une forme connue (527). En la diffcrciitiant, on aura
( 2 ) o = dp[ X -\-
ce qui donne d'abord dp = o, d'où p = constante :^ m. L'intégrale générale est donc
On satisfait encore à l'équation (2) en posant
(4) " + "77ia^ = °-
En éliminant p entre les équations (1) et (4), on aura la
solution singulière
équation d'une ellipse qui a pour tangentes les droites représentées par l'intégrale générale.
547. 6° Trouver une courbe telle, que la portion de la Pij, j,A, tangente TS comprise entre les
y\ deux axes soit égale à une Ion-
I gueur constante a.
L'équation de la tangente est
'^ '^ et l'on a
T Au; OT = ' , OS — J ~ px'.
d'où, à cause de OT -f-OS = TS ,
[j — pxY[\-^p'] — ar-p\ On aura donc
ap
\/l-hp^
puis, en différentiant,
dp ,T H î^ .
L (h/^tJ
