SUITE DU

CALCUL INTÉGIIAL.

DIFFÉRENTIATION ET INTÉGRATION SOUS LE SIGNE. — DÉTERMINATION DES INTÉGRALES DÉFINIES

Différentiation d'une intégrale définie par rapport à ses limites; interprétation géométrique. — Différentiation d'une intégrale définie par rapport à un paramètre variable; interprétation géométrique. — Différentiation d'une intégrale indéfinie. — Intégration sous le signe. —

Détermination de l'intégrale / " sin" xdx. — Formule de Wallis

DIFFÉRENTIATION d'uNE INTÉGRALE DÉFINIE PAU RAPPOUT A SES LIMITES.

448. On sait qu'étant donnée une fonction quelconque de J-, f[oc)^ il existe toujours une autre fonction (p(x) telle, que Ton ait

et que Tinlégrale générale de/(x) dx est alors représentée par

C étant une constante arbitraire.

Désignons par u Fintégrale de f[x) dx, prise entre deux limites « et Z> • on aura

Stirm. — ^/i., II. I

L'intégrale déGiiie ii ne dépend plus de x, mais elle est une fonction des limites a et è^ et l'on peot se proposer de la différcntier par rapport à l'une ou à l'autre de ces limites. On y parvient aisément sans effectuer l'intégration. En effet, de l'égalité

Il z= (^{h) — (p (<?), on déduit

et puisque

du 'da

da

du

4i'9. Si a et /? sont des fonctions d'une certaine variable t, indépendante de x^ en désignant par da la différentielle totale de u considérée comme fonction de la variable indépendante f, on aura (I, 46) ['*']

du du

du z=z —- da -h -— - du , da db

et, par conséquent,

(2) du = — f{a)da-i-f{b)db.

On obtiendra du en fonction de t en remplaçant dans cette formule a, Â, da, db, par leurs valeurs en fonction de t.

In terprétat ion géométrique,