Soit

l'équation en coordonnées rectangulaires de la courbe CD' ; l'intégiale définie

rig. io5.

[*] (I, 46) indique un renvoi au n» 46 du premier volume. Les renvois au second volume seront simplement indiqués par le numéro du paragraphe.

représente l'aire ABCD. Donnons aux limites a el b les accroissements infiniment petits

AA' ~ da, BB' — db :

on aura

A'C'D'B' = u-[- du et

^/^«r=z- AA'C'C-i-BB'D'D.

Or, on peut remplacer AA^C'C et BB'D'D par les rectangles ACEA' et BDFB' qui n'en diffèrent que de quantités infiniment petites du second ordre (I, 17)^ on aura

donc

AA' a C=:/ [a) da, BB' D' D = f (b) db,

et, par suite,

du = —f(a)da-{~f(b)db.

niFFÉRENTIATION d'uNE INTÉGRALE DÉFINIE PAR RAPPORT A UN PARAMILTRE QUELCONQUE.

451. Supposons que la fonction placée sous le signe / dépende d'une variable t, autre que x, et soit

Si les limites a et ^ sont indépendantes de f, on aura^ pour l'accroissement Aï donné à f ,

u-\-^uz= j f[x,t-hM)dx, Ja

f{.T,t-hM)dx~\ f{.T,t)d.'V

d'où

[f[x,t-\-M)-f[x,t)\dx',

par suite,

A,/ Ç^ f[x, t-\- Lt)-f[x;t) ^

Tt^l ^ K. ^^'

er, si l'on lall décroître indéfiniment Al^ on aura, à la lî mite,

(3) Tt=\„ "7/7- ''■^-