Eniin, l'intégrale multiple j y^dx" peut s'expri

QUARANTE-QUATlllEME LEÇON. 9I

mer par une seule intégrale simple. En effet, donnons aux intégrales qui entrent dans Fégalilé (3) les limites a et X'^ posons p* = f(^x), et, dans le second membre, remplaçons X par z sous le signe | : nous aurons

ou bien, en faisant passer les facteurs constants sous le signe / . et remplaçant la somme des intégrales par une intégrale unique,

(4) fV{^)'^^»=y-"-,-^ -T rf{z)[x-zY-^dz.

562. Cette dernière formule conduit à une nouvelle démonstration de la série de Taylor. En remplaçanty(x) par la dérivée /("+^^(x), cC. n par 72 -{- i, on aura

/ /('■+') Lx] ^.r"-*-^ = ■ ' f /("+•) (z) (.r — zYdz.

D'un autre côté,

donc

0(2) [x — z)" dz;

et, si Ton pose x = a -i-h, et z = a-\-h — f,

/(«-4-/^) =/(«) -f-/'(«)>^ +/-(«) -il + .. .