Soit proposé d'intégrer l'équation

V étant une fonction de x. On en déduit

=: / cdôc -h r,

— ^ =r 1 <:/.r 1 vdx -{- ex -{- c'

-— -^ =: j dx j d,r j çdœ -f- cx^ -{- c' x -\- c" ,

et ainsi de suite. Donc, si l'on désigne en général par / ucîx'^ l'intégrale / dx j rix, . . | i^dx qui résulte de n intégrations successives par rapport à x^ on aura

(2) jr= / ('Jx'^'+ cr"'-' + c'jc'"-^- • • • 4-c('"-').

560. L'înîégrale multiple qui entre dans la valeur de j^ peut s'exprimer à l'aide d'un certain nombre d'intégrales simples. En effet, l'intégration par parties donne successivement

/ dx j vdx r=r .r 1 vdx — I l'j dx,

j vdx^ zr= |.r2 I vdx — IX I vxdx -f- / çx^dx\t

j vdx* = ( .r' / vdx — 3x^ j l'xdx

+ 3.r i vx'^dx — 1 vx^dx

go COURS D AJNALYSE.

el ainsi de suite 5 d'où l'on conclut, par induction,

l / vdx"z=z — ^"—1 / vdx — {n — i)x"~- \ vxdx

Pour établir la généralité de cette formule, il suffit de montrer que si elle est vraie pour une intégrale de l'ordre n^ elle conviendra encore à une intégrale de l'ordre 71 -{- 1 . Or, on peut mettre l'équation (3) sous cette forme

/pr/a:"= /zjc""' 1 tuix — n (n — î) x""^ l vxdx i.2...«l J ' J

H ^ ^ ^ x"-^ / crV/x dz /^ / i>x"-^dx •

Multipliant les deux membres par dx^ et intégrant par parties, il vient

/udx"^^ z= x" I vdx — nx"—^ 1 vxdx 1.2... «L J J

H ~ X"-'' j vx?dx — "-r^nx I vx^-^dx

— I — n n • • • zL /? I vx"dx.

i.2...«L 1-2 AJ

Mais

I — « 4 -J i —. ..,zhn = (i — O'^zizi rrrdbi:

donc

/('^.r""*"' = \ x"^ I vdx — nx"^~^ 1 vxdx 1.2.../.L J J

H ^^ — x"-^ I vx'dx + . . . =p I vx"dx U

ce qui établit la généralité de la formule (3).