Soit d'abord l'équation

<Iy cl

En posant -— --/>>, on aura -j- =:J[p) • d'où

Si l'on peut tirer de cette équation ;; en fonction de x^

on aura

p = (p(.r), OU djr = (^{x)(/x,

et, par suite,

Cette équation est l'intégrale générale, car elle contient di'ux constantes arbitraires c et c'.

56i. Si l'on ne peut pas tirer de l'équation (2) la valeur de /-> en fonction de x, on aura

94 couKS d'analyse.

d'OLl

dp

on éliminera ensuite p entre les équations (2) et (4).

56o. Exemple. Trouver la courbe dont le rayon de courbure est constant et égal à a*

L'équation différentielle du problème est (I, 257 ) ;

On aura donc et, en intégrant,

(2) a::rr -=^::::=r: + C;

par suite

dp dx

dx^-^P-^^:,

apdp dy ^= pdx = r ?

d'où

VU- A' En éliminant/? entre les équations (2) et (3), on aura

(4) (x-cY+.[j-c'y=a\

équation d'un cercle dont a est le rayon.

On peut aussi tirer de l'équation (2) la valeur de p eu fonction de jcj on a

\J à- — [x — c]'' il en résulte

{x — c)dx

SJa^ — {x ~ c]'' '

QUAllAWTE-CINQTJIEME LEÇON. yS

d'où, en inlcgrani,

y — c'= — sja' —[^ — ^ j%

et enfin

(.r — c/ -h (/ — c'y- = a\ 566. Plus généralement, si Ton a l'équation

ne contenant que deux dérivées consécutives, en posant

flm-l y ^ d'^X dp

' = p. d ou — - = — - j

dx"'-' ^ dx"' dx

l'équation proposée se réduit à

on en déduit successivement :

*iP-. :=:f'p], dx = -J^— , et or == \-^— -^ c.

Si celte dernière équation peut être résolue par rapport à /?, on aura

p = ^[x) ou -^^~=Z<^[X),

et (559)

Si p ne peut être exprimé en fonction de x, on aura

ou

pdjj

donc

= Py

dx"

dx =Z

'pdp

rf:--

Zip)

EîJ multipliant par dx =:^ ~— et intéiîrant de nouveau,

on aura

do

ft ainsi de suite.