PROPRIÉTÉS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES PRIVÉES DE SECOND MEMBRE

579. Nous considérerons d'abord Téquation privée de second membre

dx"' dx'"-' ^ dx'"-^ dx ^

Si des fonctions particulières j^,j^^...^ y„ satisfont à cette équation, la somme de ces fondions , et même la somme des produits de ces fonctions par des constarHes quelconques Cj, Cg, . . . , c„, j satisfera également.

En

effet, si r

'on pose

-co'i

Cnfu

on aura

dr

dx

dr-i dx

■ dx '

dx-

d'y, dx'

■-+-Cn

d.JC'^

dx'"

La substitution de ces valeurs dans l'équation (II) lui fait prendre la forme

\ dx'" dx'"-'

/d'" r, d'"~' yo Cl h P ■ -f- . \ dx'"' dx'" '

Or, chacune des parenthèses étant nulle par hypothèse, l'équation se trouvera satisfaite. Cette propriété n'appartient qu'à l'équation privée de second membre.

o80. Il suit de là que si Ton connaît m solutions parùciilières de V équation (II), on aura Vinlégrale générale en posant

powvu que Von puisse déterminer les constantes de nia-

dy r/"'~' Y nière à donner à y. — v? '— des valeurs arbitraires

•^ dx dx-"'-'

pour une valeur quelconque de x (n" 552).

Ces conditions ne pourraient pas être remplies s'il existait une rclalion linéaire entre quelques-unes des fonctions j^i,j^2 5 • • • O '"• ^^^ exemple, si Ton avait

on aurait

j — (r, -f- «C3) j, -f- (cj + bc^)y, -+• ^4 /< + • • • H- CmXm,

et cette expression, ne renfermant que m — i constantes arbitraires, puisque c^ -\- ac^, et Cg H- hc^ ne doivent compter que pour deux constantes, ne peut pas être l'intégrale générale de l'équation (II).

581. L'équation linéaire étant homogène par rapport àj^ et à ses dérivées, on peut en abaisser l'ordre d'une unité, en posant j =z e^'"^^ (575)-, mais elle cesse d'être linéaire. Elle prend alors la forme

(III) h. . .-f-(w'"-l- Pa'"-'-+-Q«'"-'-h. . .-4-U) =0.

Cette équation est plus compliquée que la proposée, mais elle fait découvrir plus facilement certaines intégrales particulières. Ainsi, quand une valeur u = r, indépendante de x, annule le polynôme

(i) u"'-^ Pw'«-' + Qa'"-^ + . . .-f-U =f(u),

l'équation (III) est satisfaite par u = r, car les dérivées

du d-ii d""-^ u ,, , ,,,

— 7 -^ • • • 5 — sont nulles : par conséquent J equa-

dx d.r- dx"'~^ ^ * ^

tion (II) est satisfaite par j^ = ce-*"""^^ = ce'-^.