ÉQUATIONS LINÉAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS

582. Dans le cas où P, Q,..., T, U sont des constantes, l'équation /'(m) = o n'admet que des racines constantes /i, /'s,..., /',„. En les supposant toutes différentes, on aura m solutions particulières e'"'^, c'^^, . . . , e'"'«-^, et l'intégrale générale sera

Pour le démontrer il suffît de faire voir qu'on peut déterminer les constantes Cj, Cg, . . . , c„, de manière que, pour une certaine valeur de x, par exemple x = o, la fonction y et ses m — i premières dérivées aient des valeurs arbitraires Z>, b',..,^ ^("-^). En effet, de l'équa-

iio COURS d'ajvalyse.

lion (2) on lire

dx

ei, par conséquent, en faisant x = o dans les équations

(2), (3), (4),. .., on aura

l c^ -^ c^ -\- Cs -h . . . -^ c„, =z b , I f , r, -L C2 r-, -+- c. T\, -I- . . .-\-c^ r,n = b', (C) U.r'l-^c,rl-^c,rl-^...^c,,r^=.b'\

Multiplions ces équations respectivement par /[, A', A'',..., /^('"-2) eî^ j^ et ajoutons-les : en posant

on aura

zzz: kb -i-- A'Z»' + k''b" + . . . -H ^'('"-').

On éliminera c^^ Cg,. . ., c,», en prenant pour (p (r) une fonction telle, que (p (z'a), <p (''3), . • . , 9 ('m) 7 soient nulles, mais que ^[i\) soit diilérente de zéro. Ces conditions eeront remplies si Ton pose

d'où

et

^(— .) H- . . . + k"b" -1- A'^^ H- AZ>

On aurait de même C2, C3, . . , c,„. Toutes ces constantes

ont des valeurs linies et déterminées, puisque /^ (/i), /'(/'s),. . .,/'(/•,.) ne sont pas nulles ('').

Si l'on donne les valeurs b, b\. . ., h"'-\ de j et de ses dérivées pour X::^ a, on remplacera, dans l'équation (2), X par [x — a) sans changer les constantes, car l'intégrale (2) peut évidemment s'écrire

En prenant ensuite les dérivées et faisant x =^ «, on retrouvera les mêmes équations (C) pour déterminer Ci,

Exemple.

On a d'où et

CAS DES llACTNES IMAGINAIRES INÉGALES.