TROISIÈME MÉTHODE

591. En substituant e''" kj dans le premier membre de l'équation

, d"*Y <^™-'r ^ d'^-^Y ^dy

^ ' dx"' dx -^ dx'"-' (Ix

on a identiquement

^ ' dx" c/^'"-' ^/r -^ ^ '

Différentiant par rapport à /', on aura

^m ,,rx y. /jm — t ptx y.

i p h . . . -'r- Uc''^.r'

/^x ; Jj?'" dx'- •

et ainsi de suite.

L'équation (i) montre que Ton satisfera à Fcquation différentielle (II) en posant y -- e'»\ l'i étant une des racines de l'équation /(/') := o.

Si /'i est racine double, on a f(f\) ^^ o^ et la relation (2) montre que Ton peut prendre j^ -- e"^^-^ x, ce qui avec e'i-^ fait deux solutions.

Si 7\ est racine triple, outre les deux solutions distinctes déjà obtenues, on déduira de l'équation (3) la solution 7 ::= e''-" a-, et ainsi de suite.

Donc, à chaque racine multiple correspondra un nombre de solutions égal à son degré de multiplicité. En multipliant toutes ces solutions par des constantes, et les ajou tant, on aura l'intégrale générale.

EXERCICES

Solution :

r = C6'-'+C, cos — ^-!-C,sm — a:-hCoCOS — jc--C, sin — x-f-....

Solution : r ::= C -f • C, x -f- G, .r- + . . . + C„, .r"-' .