Revenons à l'équation

/-/"' r d'"^* Y d"'~'^ Y dY

(II) ~- +P-t^ + Q'-7-^^ + -*-+t/4-Uj-=o. ^ ^ d.x"' dx'"-^ dx'"-^ dx

Remplaçons j}^ par uv. L'équation, ordonnée par rapport à la fonction u et à ses dérivées, deviendra

I d"' V d'^—^v ^dJ"~^v ^dv \

- h P h Q h...-i-T-— H-Ut^M

du dx

\ .Q. . . . ni <**'

OU bien

, . ,. ., du Y, d'à Y m d"'n

^ ^ dx 1.2 d.i' ^ i.2.3...md^- ~ '

en posant

^^ d'^i> d '"-'(> ^d"'-'v dv

r/x'" r/.r'«-' ^ dx"'-' dx

y,=:m{m ~ i) — — - 4-(/72 i)(;;2.2)P-— -- +...-4-1. 2. Se,

Le développement (2) est analogue à celui d'une fonction de X dans laquelle on remplace x par x-\- h'^ car on voit que les polynômes Vo, Vi, Vo,. . ., V,„ se déduisent du polynôme

çn, | Pp^-1 | . U Ti» -1- U

et de ses dérivées, en remplaçant f^'", ^^"'~^ ...,(>, t^^ par

590. Maintenant, si l'on pose v-.— e'''^ et que i'oii supprime le facteur commun e'"^, l'équation (2) prendra la forme

f(r) désignant, comme plus haut, le polynôme

De là résultent les conséquences suivantes : 1° Si i\ est racine simple de l'équation

on satisfera à l'équation (3) en faisant

Cl désignant une constante 5 d'où j = c^ e''-^'.

Donc, si toutes les racines sont inégales, on aura m ki-

ri8 COURS d'analyse.

tégrales parlicullères coii tenant cliacune une constante arbitraire, et dont la somme formera l'intégrale générale. 2° Si Tj est une racine double, /"(/•,), /^(/'i) seront nulles, et l'on satisfera à l'équation (3) en posant

d'où

3° Si Tj est racine triple, /'(/'i), /'(/"i), /^^(rj) seront nulles, et l'on satisfera à l'équation en faisant

d'où

UT~ c -\- c' X -f- c" x\

y ~- c'"' ^ ((? + C'x -f- c''x- ) , et ainsi de suite.