Soit

, - d"' Y d""-' y dy

Posons

z elant une fonction de x et de a tellement choisie, que

dz d-z d'"~- z

^' 7^' T77^' ' *' ^r^^ soient nulles pour a ::= .r, et que

Ton ait pour cette môme valeur

Ces conditions étant remplies, on aura

z^ désignant la valeur que prend z lorsque a. = X'^ mais, par hypothèse, cette subslitution annule z'^ donc

dy f"" dz

on aura ensuite

'dx'

QUATIAKTE SEPTIÈME LEÇON. 121

mais [-.-] ==o; par conséquent 1 équation précédente se réduit à

on trouve de la même manière :

En substituant ces valeurs dans l'équation proposée (I),

on a

z ^d'"~'z dz \

Q \^^.J" d.x'" ' dx I ^

et il suffit, pour que l'équation soit salisfaite, que l'on ait

Si, outre les conditions cilées plus haut, z remplit cette

nouvelle condition, j ^ / zda sera une intégrale par-

ticuLère; en la désignant par z/, et posan t j^ -- w -f- 1', l'équation (I) devier.dra

Or, la première partie du premier membre de cette équation est nulle par hypothèse; donc l'équation se réduit à

Et SI Ton peut intégrer généralement celte dernière équation, u-h V sera l'intégrale de l'équation proposée (i).

dx'"

CAS OU LES COEFFICIENTS DE l'ÉQUATION (II) SONT CONSTANTS.

o93. Quand on connaîtra l'intégrale générale de Téqua lion (II), en y remplaçant x par x — a, on pourra proliter de l'indétermination des constantes arbitraires qu'elle renferme pour remplir les conditions indiquées plus haut. C'est ce qui arrive lorsque les coefficients P, Q,,..,T, U sont constants.

En effet, i\^ r,, /'a,.- -5 'm étant les racines de l'équation (i) f{r) = r"' 4- P/-'"-' +...+ T/-4-U=:o,

on pourra écrire

et pour satisfaire aux conditions dont il s'agit, on posera :

Cl r, -i- C2 A-, + . . . -4- C„ /V, =r G,

C, /■--'• -!- C2 rf-

C, a;«-^ -h c, rf-

En opérant comme au

on

trouvera

t., — î LI2 —

et, par conséquent,

F(aU'''*^-^-^-) F(

On aura donc / zda.^ ou

Mais on n'a ainsi qu'une valeur particulière à laquelle il faut ajouter l'intégrale de l'équation

d.jc"' dx"'-^

dv T--- -hUpzrzO,

dx

laquelle est

(^ irz Cl e^^^ H- C-^Ê"''

Cj, C2, . . . , c,,j désignant des constantes arbitraires. Ajoutons cette valeur au second membre de l'équation (2) et observons que

peut s écrire

ou, en remplaçant c^f(j\') par r^,

il en résultera

fin)

e'-Ac.-\- f" ^-'■^=^F(a)./a 1

evU,„-f- / 6'-'""'^F(a) Ja

Ainsi, dans le cas des coefiicients constants, rintégra]( de l'équation (I) s'obtient par des quadratures.

CAS OU l'on CONNAIT UN CERTAIN NOMBRE d'iNTÉGRALE? DE l'équation privée DU SECOND MEMBRE.

594-. Si l'on connaît m intégrales particulières j^i, r2,. • • ,.r,., de l'équation

d"* Y d'"~^ V d"'~''' V dv

(II) ^4-p^^-h q4 ! +...uT4^-f-Uj.= o,

^ ^ dx'" J./;"'-' ^ dx'"-^ dx -^ '

on aura

Cl, C2, . . . , C„i étant des constantes arbitraires. Or, on peut supposer que cette valeur dey satisfasse à l'équation

en regardant Cj, C5, . . . , C,„, non plus comme des constantes, mais comme des fonctions inconnues de x, qui n'ayant à remplir qu'une seule condition, savoir que la valeur de y satisfasse à l'équation (I), peuvent être liées entre elles par77z — i relations tout à fait arbitraires. On choisit ces relations de manière que la détermination des fonctions Ci, C2 , . . . , C,„ n'exige que de simples quadratures.

On a

, — ■ ti, — — -f- L2 — ~ . . .-\- Li„,

dx dx dx dx

Posons

rfC, rfC, r/C,,

Alors,

on aura simplement

dx dx dx dx

et celte expression de — est la même que dans le cas où

Cl, Co, . . • ,C,„sont des constantes. On aura de même

— Cl — ; H- t.2 ----- -\- . • . -\- y^m , '

d.r' dx' dx^ dx'

en po

sant

dyydC, . dy.dC, ^ ^ dy^dÇ.„ ^^ dx dx ' dx dx ' dx dx

puis

dx^ ' dx' cix' dx'

en posant

d'y, dC, ^ d'y, dC, ^ d' y„ dC„, ^^ ~dx' dx ' dx^ dx ' ' ' ' dx' dx

On continuera ainsi à former les dérivées de j jusqu'à

— inclusivement, en égalant toujours à zéro la somme

dx"'-'

des termes qui renferment les différenli elles de Ci,C2,.'m C,n' Enfin, on aura

dx'" d.r" dx-'^ dx'"

d'"-' j, dÇ., d"'-'y^ dCj ^ d"'-'y^ dC,^ ^

~^ ~d^'^' 'dû "^ dx'^-' dx " ' ' «>'«-' dx '

I 1 dr d"' y ,,,

En substituant ces valeurs de y, -j--) • • • ? — — ? 1 équation (I) devient

' \ dx"' dx'"-' -" )

* d.r"' dx'"-'

d'"-\ri dC, ^ d'"-'y,dC, ^ d"'-\r„, dC„, __ ^.

dx'"-^ ~dx ~ dx'"-' dx • • ' "^ dx'"-^ dx

Or, les polynômes qui mulliplient Ci,C2,...«> C„, sont nnls par hypothèse : l'équation précédente se réduit donc a

r/"'-' r, dCn ^ d"'-\y^ dC^ d"'-\r,n dCr.

' "^ dx'-'—^ dx ' <r/.t"'~' dx • — dx'""^ dx

^ . . ,, . dC, dC, da„

Un a ainsi , pour déterminer — ~ ? — — 5 • • • 5 ? les m

'- dx dx de

équations (i), (2).. . ., [m)- Supposons que leur résolution donne -

j X, r/j^, G. — C2 -h / X2 dx , . . .

il en résultera Cl = Cl et, par suite,

X— f^i -i- 1 X, dx] J, -;- ( f2 H- / X, dx\ 7, H

59o. Si P, Q,. . ., T, U sont des constantes, on peut prendre j^ = e'"' •" , j^ ~ e'-^ -^^ . . . , j,„ z=z e'"- -^ ^ /'i , /^ , . . . , r^ étant les racines de l'équation

/(r) =-- r« -:- P/""- H- Q/-'"-2 -i- . . . 4- Tr -J(- U =: o. Dès lors les équations (i), (2),. . . . (m) deviennent

dC, dC,

crr^ ^- e'-*^ -r- -\-- ' dx dx

dx

r/C, riC, ^/.r ^ dx

Par la méthode d'élimination déjà employée (582, o93), on aura

d'où

On aurait de même Co, Co, . . . , C,„, et, par suite,

ce qui est, au fond, la formule (3) du n" o93.