Soit l'équation différentielle du second ordre

d'^r m dy

dx^ X dx ^

m, et A^ désignanl deux constantes : admettons que son intégrale puisse être développée en série convergente procédant suivant les puissances ascendantes de x, et posons

y = kx""- + Bx^ -h . . . -i- L.r'^ -h M-r/* +

En substituant cette valeur dans l'équation (i), on aura

-4- m INI ^ ih'kx'^ -f- 2A^B.r^ +...+ a.h-'hx^- + ihnix^- +...=0.

Pour que cette dernière équation soit identique, il faut d'abord qu'on ait

Aa(a-i)

^«-2|Bg(6-

c'est-à-dire

a=o, ou a:=i — m.

Si Ton prend d'abord a — o, et que l'on procède comme il a été indiqué au n^ 611, on trouvera la série

__ r A^r^ fi^ 1

'^' ^ L i.[m-^i) I .2.(/72 -i- ij(,m-t- 3) ' * ' J

Si l'on fait a = i — m, on aura par le même procédé

y^-^B.x y. ,^^3,^^^ . i.2.(3 — mj(5 — m) J'

Vj et jTa sont deux intégrales particulières contenant chacune une constante arbitraire. Leur somme j-i +72 sera donc l'intégrale générale.

QUARANTE-HUITIÈME LEÇON. l53

619. On peut remplacer les séries ji ety^ par des intégrales définies. En effet, entre les coefficients L et M de deux ternies consécutifs de la série j'"!, on a la relation

/^'L =r M/? (i — m — ip).

Or, on déduit de la formule (B) (I, 372) une relation analogue entre deux intégrales définies, savoir :

I cos'Pasin'"-'af/a=r • / cos-P-'^usm'"-^a.da..

Jo 2/>-i-/7/— iJo

Le rapport de ces deux intégrales est, à un facteur con-

M = Ap j cos^P a sin*"-' a dx,

'L=Ap-i j cos'^-'asin'"-'ar/a, Jo

stant près, égal au rapport —5 si donc on pose

on aura

M Ap ip — I

L A^, ip -\- m — \ ~ p[i-

donc

An - An— !•

D'après cette formule, et comme A^ n'est autre chose que A, on aura

A ''■^'' A A -AI^A^ A A i-'^^'"''

A, =: -A, A2 — T~F^'-"> Ap-=A

par conséquent,

M. = A' -^ — I cos^/' a sin'"-' oLcix

P l.2....ipj^

et

S {—Q.IP)PX'-P C" A '. I ces'/' a sm'"-' a d y. I.2...2/> J3

ou bierij

r. = A / sin'"-

Mais l'expression entre parenthèses égale cos {hx sji cosa) : on a donc enfin

= A I cos (/jjc Y2 cosa) sin'"~"'ar/a.

La seconde série se déduit de la première en changeant m en Q. — m-^ donc

y^ ==: A' x^-"^ I cos ( /i.T y 2 cos a ) sin ''' Jo

620. La valeur de j^i devient illusoire quand oa a w = o ou m <^ o. En effet, si m =z o, l'intégrale

cos {/ij: sji cos a) sin"'~'ad'a est plus grande que

Jo ^

h désignant une quantité moindre que la plus petite

valeur de cos [hx y/s cos a) quand a varie de o à tt. Or,

^ dot.

— :r^ 00 . Donc la première intégrale est infinie quand

m ==: o, et à plus forte raison quand on a m <^ o.

De même la seconde intégrale n'aura une valeur finie ■ que si 2 — m est positif.

Donc j'i -i-y<i. ne représentera l'intégrale générale que si m est compris entre o et 2. En dehors de ces deux limites, l'une des deux formules tombera en défaut, mais l'autre subsistera et servira à trouver l'intégrale générale par le procédé du n° 608.

QUARANTE-HUITIÈME LEÇON. l5?

C21 . Examinons maintenant quelques cas particuliers. 1° m== o. L'équation se réduit à

Pour déduire son intégrale des formules précédentes, observons que la valeur def^, qui est encore admissible, se réduit à

^2=A'x 1 cos (/f.r y/2 cosa) sinaaa

:=:——— I COS (/i.r y 2 cosa) <:/(/2^ V2 cosa)

z=z Csin(/ij: V^).

Au moyen de cette première intégrale on trouvera

y =: csin {^hx y'a) + c' cos \hx \i).

1^ m = 2. La valeur de j 2 est illusoire, mais celle de Yi subsiste et donne Qs\n[hx sj^) pour intégrale particulière. On en déduit l'intégrale générale

r sin ( hx \Jq. ) -i- c' cos ( hx \l j. )

3^ m=zi. Le rapport àe j^ ^ J-i ^st constant, et ces deux intégrales ne sont plus distinctes. Dans ce cas, on posera m = 1 -|- A, et l'on appliquera le procédé de d'Alembert (585).

EXERCICES

Solution :

ialSgrale particulière.

i56 COURS d'analyse.

cry I dy dx

Solution :

intégrale particulière.

QUATIAIVTE NEUVIÈME LEÇON. l^J