ij

et, à fortiori^

ij.W{x — a)

car on a

Un sait que ou — — '— peut devenir

^ 1 .'2. . .in i .1. . .in ^

moindre que toute quantité donnée e, quand n est suffisamment grand . Donc, si l'on désigne par K la plus grande

valeur de - C [t'i^-'')\/'>i^ ] <î-(^-'^)v/îî] , quand x varie de

a h b, valeur qui est indépendante de 7î, on aura

z ■< K -h ps.

Cette inégalité ayant lieu pour toutes les valeurs de x comprises entre a et ^, on peut remplacer z par sa plus grande valeur//, et l'on aura

Il <C, K. -f- pe, d'où

Ainsi, [Â ne peut pas devenir infini, et, par conséquent,

le reste de la série (8). qui est moindre que ^ M" -^ >

tend vers o, ce qu'il fallait démontrer.

616. On arrive encore à la formule (8) (615) par la méthode suivante ; Posons

Uq, Wi, u^^. . ., étant des fonctions de x que nous alious déterminer. On doit avoir -~ = Rz (613), ou

d'Uo fP a, (Pu -2, „ „

dx^ dx^ dx-

Or, on satisfera à cette équation en posant

f/V/o d'il, d^ii^

i5o couKS d'analyse.

En supposant que l'on ait z/q = A, -,— == B pour x ^=^ a,

et que i/i, i^g, . . ., ——5 — ? • • ., s annulent pour x =- a, on tire des équations (1) :

«0 = A -h B (x — a) z=zt,

U^ =: I dx \ VvtdXf

Jnx n-x nx /ix

' dx I l\dx I dx I B.tdx,

On démontrera que la série

est convergente, comme on l'a fait n*' 615,

d'" z On traitera de la même manière l'équation — ^ ■,=z R^^

et l'on aura une série dont cliaque terme s'obtiendra en multipliant le précédent par ^dx'"^ et intégrant m fois.

617. Comme application de cette méthode, considérons l'équation du second ordre

à laquelle se réduit l'équation dite de Riccati dy

en posant

I dz

Pour plus de simplicité, supposons a = i, et prenons toutes les intégrales indiquées au numéro précédent, entre

QUARANTE-HUITIÈME LEÇON. l5l

les limites o et .r : nous aurons

/ = A-h Bx.

Multipliant par x"'dx^ et intégrant deux fois entre les limites o et x^ il viendra

Nous aurons de même successivement,

__ kT^"'+'

"' ~~ (w 4- 1) (/w -h 1) [^ni 4- 3)~(2//2 -P4]

(w 4- I; [m -h 2) (2A/2 4-3) [im 4-4) (3/7ï4-5) (3/72 4-6)

B.r'"'+' (/;2 4-2) (/7/4-3) (2/;/4-4j (2/724-6) (3aa/4-6) '{6m 4-7)

et ainsi de suite.

Par conséquent, la valeur de z sera

(/72 4-i)(///4-2) ' (w 4-lJ (//74-2J (2/7/ 4-3}(2/// 4-4)

ta:' ^4-, (///4-2

Quand 772 rzz o, cette formule se réduit à

z — A ■ h B — — — = A'e^ 4- BV'^

qui est bien l'intégrale de Téquation

INTÉGRATION d'uNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE A l'AIDE

d'intégrales définies.