Soient

„/ df d"'f dz dPz\

dr d"y dz d1z\

deux équations qui renferment deux fonctionsj)^ et z d'une variable indépendante x, et leurs dérivées de divers ordres. En éliminant y entre ces équations, on obtiendra une équation diiTérentielle à une seule fonction z, et dont Fintégralion fera connaître z.

Pour opérer cette élimination, on difierentiera /z fois la première équation, et m fois la seconde; on aura ainsi m-4- n -{-2 équations entre lesquelles il sera possible d'éliminer, par les moyens ordinaires de l'algèbre, les

dr d^r d"'-^"}" T î'

rn-{-n-i-i inconnues j, — , ^-^, . . . , -^-^. L équation

finale sera, en général, d'un ordre égal au plus grand des deux nombres 7i-{-p, m -{- q \ toutefois cet ordre peut cire moindre, si l'élimination a pu s'effectuer sans employer les m -\- n -\- 1 équations.

623. Plus généralement, si l'on avait /' équations différentielles contenant une variable indépendante x et /' fonctions j)'^, z^ w, . . . de cette variable, on éliminerait y entre ces r équations, ce qui donnerait r — i équations

l58 COUHS D ANALYSE.

entrer, r/, On éliminerait ensuite z entre ces /' — x

équations, et ainsi de suite. On arriverait ainsi à une équation différentielle ne renfermant plus qu'une seulf des fonctions inconnues.

SYSTÈMES d'ÉQL'ATIONS DU PREMIER ORDRE ÉQUIVALENTS 4 UNE ou PLUSIEURS ÉQUATIONS d'uN ORDRE QUELCONQUE.

624. On peut remplacer une équation différentielle d'un ordre quelconque à deux variables par un système d'équations simultanées du premier ordre, en représentant par une lettre chacune des dérivées, excepté celle qui est de l'ordre le plus élevé. Ainsi l'équation

est évidemment équivalente aux équations suivantes :

dy , df

dx

dx ^ dx ' '

dy d"' y dz dPz\