ÉQUATION DE LA GORDB VIBRANTE

694. On démontre en Mécanique que le mouvement ~\ des différents points d'une corde vibrante, fixée à ses

deux extrémités, est représenté par Téquation aux déri- i

vées partielles dfM second ordre •

MP = M, AP = X sont les coordonnées rectangulaires d'un point quelconque de la corde, , l'origine étant prise à Textrémiié A*, eX y désigne le ^ temps. j

Pour intégrer l'équation (1), prenons deux nouvelles variables a et 6, liées aux variables x et j* par les équa- ■*

tions *'i

(2) a = X -h fl^, 6 = X — rtf^.

Si de ces équations on tirait les valeurs de x et dej)^ en a et 6 , et qu'on les portât dans la fonction cherchée m,

ai6 COURS d'analyse.

cette dernière deviendrait une fonction explicite de a et de 6. On peut donc considérer u comme une fonction de a et de 6. On aura alors, à cause des équations (a),

du du du

dx doL dZ

l On trouvera de même

d^u ^ dUi d^n d^te

dj^ \ya» rfa^S rf6^

En portant ces valeurs dans Téquation (i), on aara, après les réductions,

Cette équation est facile à intégrer. Elle peut s'écrire donc — ne dépend pas de a, et Ton a

du

xs désignant une fonction arbitraire. On en déduit

u-=. j a(6)ûfê -4- ç(a),

et, par conséquent, en représentant par ^ (6) l'intégrale t!j(S)dSy (p désignant encore une fonction arbitraire,

c'est-à-dire

(4) a = ç (x -4- ajr) + >Kx — ajr).

Telle est l'intégrale générale de l'équation (i) 5 on peut

CINQUAITTE-TROISIÈME LEÇON. 217

d'ailleurs la vérifier par la différentiation. On trouve

—- ^^^ [x ^ ax) -^ ^" [x — ajr).

On a donc bien

'dj^ ~~^ 1^'

695. LMntégrale générale contient deux fonctions arbitraires cp et ip qui se déterminent par deux conditions distinctes. Ordinairement on suppose connues Tordonnéeu

et sa dérivée — pour tous les points de la corde, à l'origine du temps, c'est-à-dire pourj^ = o . Alors l'ordonnée, ii, et la vitesse verticale — de chaque point sont des fonctions données de x. Posons

^ =/(*) j ^ =/i [^) j pour J = o.

Oh aura, en faisant jr=o dans l'équation (4), et dans sa dérivée, par rapport à j^,

De cette dernière on. déduit

9{a:)^^(x) = ^ j/,{x)dr-hC = F(a:)-hCy

F (x) étant une fonction connue, et C une constante arbitraire. Par conséquent on a

2i8 COURS d'analyse.

d'où

« = ^[/(^ -h ay) -f./(ar — ûj) -4- F(x + ay)^T[a: — ay) •

La valeur de u est complètement déterminée. Comme on devait s'y attendre, la constante C, introduite dans le cours du calcul, a disparu d'elle-même.

Note. — Quand deux quantités a et a sont fonctions l'une de l'autre, leurs dérivées partielles sont porportionnelles ^ car de

on tire

da dx

dx da , . dcf.

da da dx da dx* dy dx* dy^

ce qui revient à

doc da d(x da

dx dy dy dx

comme on l'a écrit n^ 691, p. ai 3.

Réciproquement, quand les dérivées partielles de deux quantités sont proportionnelles, leurs différentielles totales sont aussi proportionnelles. Donc ces quantités sont, en même temps, variables ou constantes. Donc l'une d'elles est fonction de l'autre.

EXERCICE

\. Discuter la surface représentée par l'équation

[ayx + b{x'-hz')Y=b'ïi'x'-^b'{R^-a')z\

Solution : Surface engendrée par une droite assujettie à rencontrer une droite donnée et deux circonférences données.

cimquante-quAtrième leçon.