Soit l'équation d'une surface. Posons, pour abréger
dx
dz dH
9^ dH
dx^ ^ dxdy ' dy^
Considérons une certaine courbe CL passant par un
point M(x, ^, z) de la surface (i). Soit 6 l'angle que le rayon de courbure R de cette courbe au point M, dirigé suivant la droite MN, fait avec la normale MP à la surface, au même point.
La normale MP ayant pour équations
fait avec les axes des angles dont les cosinus sont respectivement
aao COURS d\nalyse.
La droite MN fait avec les axes des angles qui ont pour cosinus (I, 292)
,dx dy dz
dl " dl ^ dl
^-df' ^^dT' ^-df'
en désignant par dl la difTérentielle de Tare de courbe. On aura donc
/ X « ,> \ ^ ^^ '^ dl '^ dl
{2) cosô = R-^
il/
Or, d'où
Mais donc
y/l+p'-f-ç' dz=pdx -^ q djr, jdz ,dx ,dr , dx , dy
'^dî=f"^Ti-^i''di+'^^-di-^''^di'
dpzurdx -^ sdf, dq =z sdx -^ tdy\
,dz ,fltr ,</r , , , ^dx , , . . dy
'l^-pd-jj-9d-£=(rdx+sdjr)-+(sda: + td)j^.
ou
dl dl "
^ dl \dl) ^ dl dl^ \dl)
dl ^ dl On a, par conséquent.
cos0 = R-
d'où
(3J ^^ sfl-\-p''hq^CO%^
[dxY dx dy (dyy*
•\-di)-^^'Tifi-^'\ii)
Mais -Tjt -T. sont les cosinus des angles que la tangente à
la courbe considérée fait. avec Taxe des x et celui des y, eu désignant ces angles par a et 6, on aura
^^' rcos^a -f- 2Jcosacos6-»- ^cos'ê'
formule qui donne le rayon de courbure d'une section quelconque faîte dans une surface, en un point donné.
697. La valeur de R devant être positive, il faut que cosd soit de même signe que le dénominateur. Ainsi, l'angle doit être aigu ou obtus selon que ce dénominateur est positif ou négatif, ce qui détermine dans quel sens le rayon de courbure doit être porté sur la direction de la normale principale.
