Nous allons maintenant discuter la valeur gêné
Sturm.— ^/2., II, i5
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2u5' COURS d'analyse.
raie de p en nous servant de la formule , , 1 ces*© sîn'®
Supposons d'abord p' et p'' tous deux positifs, et p'> p '''- Dans ce cas, la formule (i) donne pour p une valeur toujours positive. Par conséquent, toutes les sections normales sont situées au-dessus du plan tangent, et la surface est convexe autour du point O. Si p' et p'^ étaient négatifs, la surface serait encore convexe, mais située au-dessous du plan tangent.
En mettant Téquation (i) sous la forme
on voit que - augmente depuis - jusqu'à -^» quand cp croît de o à -, et que -décroît depuis -^ jusqu'à -? quand cp
augmente de - a tt.
Dans le cas particulier où p* s= p^\ la formule (a)
donne
ou p = p^ quel que soît cp. Toutes les sections normales au point O ont donc la même courbure. On dit alors que ce poiut est un ombilic*
705. Supposons maintenant que p' et p'' aient des signes contraires et que p" soit négatif. En mettant les signes en évidence dans Téquation (i), nous aurons
Pour cp = o, on a p = p^ L'angle cp croissant de o à la f aleur 6 donnée par l'équation
tang'6 = !--rj P
p croît depuis p' jusqu'à Pinfini. Au delà de 9 = S, p devient négatif et décroît jusqu'à p'^ valeur qui correspond
à ç= -• Les valeurs de p se reproduisent ensuite dans
l'ordre inverse.
Dans ce cas, la surface est en partie au-dessus du plan tangent, et en partie au-dessous.
DÉTERMINATION DES OMBILICS.
706. Pour trouver les ombilics d'une surface, il faut chercher les points où le rayon de courbure des sections normales a la même valeur, quel que soit le plan mené par la normale.
Reprenons la formule (1) du n° 700 en y supposant cosô = I, et en remplaçant dl* par dx^ H- dj* H- dz^ : nous aurons
dx \dx)
Désignons par m, — ou le rapport des cosinus des
angles que la tangente à la courbe au point considéré fait avec l'axe des x et l'axe des j^. Comme
dz-=^ pdx -\- q dy-y
on aura
dz
et la formule (i) pourra s'écrire
Vi-t~/>'-hy-[i + m'4- [p'\-qmy\
ou bien
