VARTÀTION DE COURBURE DES SECTIONS NORMALES

702. Prenons maintenant pour plans des xz et des/2 les plans des sections principales. Les valeurs de cy corres- . pondant au maximum et au minimum du rayon de courbure devront être o et-« Or, Téquation

s tang'^ + ('' — tanjjy — s = o

ne donnera pour tangcp les valeurs o et 00 que si 5 =0 Par conséquent, la valeur de p prendra la forme plus simple

^ ^ ^""/-cos'^-f- fsin^ç*

et Ton déduira de cette expression les deux rayons de courbure principaux p' et p'\ en laisanl, tour à tour, cp =

CIKQUANTE-QUATRIÈME LEÇON. 225

et cp = -» ce qui donnera

OU bien

Ainsi, les dérivées partielles r et / représentent les deux courbures principales au point O.

703. Les valeurs de jo' et de p'' peuvent être introduites dans l'expression générale de la courbure. On a

- = rccs^tf -i- ^sîn'y; donc

(a) 1 = ~ cos> -»- ~ sin>,

formule qui donne la courbure d'une section déterminée par un plan normal faisant^ avec la section principale zOx^ un angle cp.

De là les conséquences suivantes. En premier lieu, l'expression (2) ne change pas quand on met à la place de^ son supplément : donc deux sections normales également inclinées sur une section principale ont des rayons de courbure égaux et de même signe.

Si Ton désigne par jOi le rayon de courbure d'une seclion normale perpendiculaire à celle qui fait avec le plan principal z Ox l'angle f , on aura

(3) f = ^sin'cp+ ~cos>,

et, en ajoutant les équations (2) et (3), il viendra I I I I

Donc la somme des courbures de deux sections normales perpendiculaires entre elles est constante.