LIGUES DE COURBURE
718. Soient s une surface rapportée à trois axes rectangulaires quelconques ]M(x^ jr^z),un point de la surface, et MN la normale en ce point. Si M' (x^^y, z') est un second point de la surface, voisin de M, la normale M'N' ne rencontrera pas la première normale MN, à moins qu'il n'y ait entre les coordonnées de ces deux points une certaine relation que nous allons chercher.
La normale MN a pour équations
(i) lL — x-^p[Z — z)==o,
Si p' et q^ désignent les valeurs de p et de q relatives au point M', la normale M'N' aura pour équations
En éliminant X entre les équations (1) et (3), on a
.r^ — X 4- p'z' — pz ^= .
L'élimination de Y entre les équations (2) et (4) o
On a donc Téquation de condition
,£,v X* — x-^p* z' —-pz y' ^y -^q' z* ^qz
(5) yzz-p = ,'-, , •
Cette équation et celle de la surface (6) »'=/(*'.J'')
représentent une courbe MM^ située sur la surface, et passant par le point M. Toutes les normales à la surface menées par les divers points de cette courbe iront rencontrer la normale MN.
719. Concevons maintenant que le point M' se rapproche, de plus en plus, du point M : la droite MM'. deviendra la tangente, et les différences x' — x^y — y^ z' — Zy p' — />, q' — q devront être remplacées par les différentielles dXj dy^ dz^ dp^ dq. De même p' z* — pz = d {pz)^ q'z' — qz=:d(qz). On aura donc, à la limite, fix •+■ pdz 4- zdp dy -\-qdz-\- zdq
ou simplement
Mais on a
dp dq
d.T -^-pdz dy-hçdz dp dq
dz^zpdx-^-qdy^
dp = rdx -f- sdy^
donc
dqz= tdy -hsdx-,
l^p^^pq^ /.y-+-{H-ç»jg
dy dy
dx dx
ou bien
[(i+îV-/'?'](g)'-H[(i+î')/-(>+/'V](^)
Stsmi. — Au,. II. ib
Cette équation donne deux valeurs de -j- • Elle indique
(feux directions suivant lesquelles il faut passer du pointM à un second point infiniment voisin, sur la surface, pour
que la normale en ce point rencontre la normale au
dr point M. Prenons Tune des valeurs de —-» et la valeur
correspondante de — • Soit M' le point correspondant.
On passera, de même, du point M' à un troisième point M", et ainsi de suite. On aura donc une ligne MM'M". . . , telle que toute normale à la surface menée par un de ses
points rencontrera la normale infiniment voisine. Lase-
dy conde valeur de -j- donne une autre ligne jouissant de
la même propriété.
On nomme ligne de courbure le lieu des points d'une surface pour lesquels les normales infiniment voisines se rencontrent consécutivement. L'analyse précédente montre qu'en chaque point d'une surface il passe deux lignes de courbure représentées par l'équation différentielle (8), et par l'équation de la surface. En éliminant z^ on aura l'équation de la projection de la ligne de courbure sur le plan des xy^ L'intégration donnera deux équations contenant deux constantes arbitraires qu'on déterminera en faisant passer la ligne par un point donné de la surface.
