PROPRIÉTÉS DES LIGNES DE COURBURE
720. Prenons la normale MN pour axe des z i p elif sont nuls, etTéquation (8) devient
-z Sz=zO.
dx
Le produit des racines de cette équation est égal à — \\ donc les tangentes menées aux lignes de courbure qui se croisent au point M sont perpendiculaires entre elles.
CINQUAjyTE*SIXlÈME LEÇON. 243
Si maintenant on prend les plans principaux pour plans des zx et des . zj^ on a j = o (702). L'équation (9) a une racine nulle et T autre, inûnie : donc les deux lignes de courbure ont respectivement pour tangentes, au point M, l'axe des x et Taxe des j^, c'est-à-dire les tangentes aux sections principales. Les deux séries de ligne de courbure se coupent donc à angle droit sur la surface et la partagent en rectangles infiniment petits.
Si l'on avait, à la fois, 5 = o, r = t, les deux valeurs de
-f- seraient indéterminées. Il y aurait une infinité de
lignes de courbure passant par le point M, autour duquel toutes les courbures seraient égales : ce serait donc un ombilic. Ce caractère peut servir à trouver les ombilics d'une surface, car si Ton exprime que l'équation (8)donne
dy , .
pour -^ une infinité de valeurs, on aura les deux conditions déjà trouvées (706)
i-hp^ 1 + y' /?<7
721 . Soient O un point de la surface, Oz la normale, OA et OB les deux lignes de courbure, Oo: et Oy leurs tangentes. Si O^et O^^ sont deux points infiniment voisins du point O sur les lignes OA et OB, on sait que les normales O'K et CL rencontreront Oz : soient K et L les points d'intersection. Je dis que OK et OL sont précisément les rayons de courbure, au point O, des sections principales zOx^ zOy, En effet, puisque Ox est tangente à la courbeOA, le point O' infiniment voisin du point O sur OA peut être considéré comme appartenant au plan zOx. Donc la droite O'Kqui est normale à la courbe OA, comme étant normale à la surface^ déterminera, par sa
244 COURS D^ÀNÂLTSB.
rencontre avec la normale Oz, le centre de courbure de la section principale située dans le plan zOx. On ferait voir de la même manière que OL est le rayon de courbure de la section principale faite par le plan zOy-
722. C'est ce qu'il est facile de vérifier par le calcul. Soient
les équations de deux normales. Si le point (x, ;^, «) coïncide avec l'origine, et que le point (x\y\ z') soit infiniment voisin, les équations (i) se réduisent à
et les deux autres donnent, au point commun,
— dx -\- dp {z — dz) r= — dx "h Zrdx z= o,
— £ljr -^ dq {z — dz) = — djr -^ Ztdj = o ;
OU bien
dx {Zr — i) = O, dx{Zt^i) = o.
On ne peut pas supposer dx et dj" nulles à la fois, mais on peut satisfaire à ces deux équations, soit en posant
(3) dx=^o, Z = i, ou bien
(4) dx = o, Z=zL.
Dans le premier cas, puisque ^ = o, la tangente coïncide avec l'axe des j-, et Z = - est le rayon de courbure principal. Même conclusion à tirer du second système.
723. Il faut bien se garder de croire que les points de rencontre des normales soient les centres des cercles osculateurs des lignes de courbure, car ces normales se
CINQX7ÀKTE-SIXIÈME LEÇOfT. ^45
coupent consécutivement et sont tangentes à une même courbe, propriété qui n*apparticnt jamais aux normales menées par les centres de courbure d^une courbe gauche. Et même, les lignes de courbure peuvent être planes sans que leurs cercles osculateurs se confondent avec ceux des sections principales. Il faut pour cela que leurs plans osculateurs soient normaux et que, par conséquent, les lignes de courbure soient les lignes de plus courte distance sur la surface (6i* Leçon). Par exemple, dans les surfaces de révolution, les lignes de courbure sont les méridiens et les parallèles. Les méridiens sont des sections principales, parce que leurs plans osculateurs sont normaux à la surface. Les parallèles sont des lignes de courbure planes sans être des sections principales.
CALCUL DES RATONS DE COURBIJHB PRINCIPAUX EN UN POINT QUELCONQUE D^UNE SURFACE.
724. Le théorème démontré (722) permet de calculer les courbures principales en un point d'une surface, l'origine étant quelconque.
La normale menée au point M de la surface a pour
équations
Si M' est up point infiniment voisin, pris sur la ligne
de courbure, la normale correspondante rencontrera la
première normale en un point dont le Z sera donné par
chacune des deux équations
dy
dx
dx
246 COVHS D* ANALYSE.
En éliminant -^ entre ces deux équations, on aura
(4) ~ [(ï -+-/'*) ' -i- (n- ^') /• - '^pqs\ (z - z)
Cette dernière équation donne deux valeurs de Z — z, et, par suite, de Z, qui correspondent aux centres de courbure des deux sections principales. Appelons p l'un des rayons de courbure, on aura
valeur qui se réduit, en vertu des équations (i), à
d'où
Si Ton substitue cette valeur de Z — z dans l'équation (4), on aura, en réduisant et ordonnant.
(5) I '-{[l'¥p')t-\-{l'^rq^)r^1pqs\^il-\-p''-\-q\^
d'où Ton déduira les valeurs des deux rayons de courbure principaux.
725. Les normales d'une surface, menées par les différents points d'une ligne de courbure, forment une surface développable, puisque deux normales consécutives se rencontrent. Pour avoir l'équation de cette surface, il faut éliminer x, j^, z entre l'équation de la surface proposée, les équations (i) d'une normale et l'équation (8) du n** 719 qui exprime que le point [pc^y^ z) est sur la ligne de courbure.
On obtiendra le lieu des centres de courbure de toutes les sections principales d'une surface représentée par
CrNQÀNTE-SIXlÈlSffE LEÇON. Mj
Tëquation
en éliminant a:, j^, z entre cette équation, celles de la normale, et Téquation (4) où Z se rapporte au point de ■concours de deux normales infiniment voisines. Cette surface se composera de deux nappes, puisque chaque normale contient deux centres de courbure.
