D0 COURS D ANALYSE

\jh[a — b). En mettant l'équation (7) sous la forme

r' ah (a — b)

m à -¥- am

on voit que pour m= <x> elle se réduit k x = o. L'hyperbole se confond alors avec l'axe des /, ou plutôt avec la portion de Taxe des j^ qui commence à une distance de l'origine égale à dt yjb {a — b).

Les ellipses représentées par l'équation (8) ont leurs axes dirigés suivant les axes des x et desj^.

Les demi-axes ont pour expressions

/ab{n—b) /ab{a — b)

Le premier, dirigé suivant l'axe des a:, diminue de Tinfini à o, quand n augmente de - à Tinfini. L'autre demiaxe diminue de l'infini jusqu'à \jb [a — b). Donc, tout point situé sur l'axe desj^ et à une distance de l'origine plus grande que ^b [a — b) sera le sommet d'une de ces ellipses. Pour n = co l'ellipse se réduit à l'axe desj, comme le montre l'équation (8) mise sous la forme

n an — 6 '

cela résulte encore de ce que l'autre axe se réduit alors à o.

Si X* = o, une des valeurs de c est infinie, et l'autre est positive ou négative suivant que^^' est inférieur ou supérieur à >^b[a — b). Les projections des lignes de courbure sont alors Taxe des y, et des hyperboles ou des ellipses, selon que j^' est plus petit ou plus grand que \^b (a — 6).

Si j^'= o, une des valeurs de c est nulle, et l'autre toujours négative. Dans ce cas, les lignes de courbure oui pour projections l'axe des x et des ellipses.

CIIiQUÀ5TE*SIXI£MB LEÇON. abl

EXERCICES

1 . Trouver les lignes de courbure de VelUpsoîdci Solution: Soit

l'ellipsoïde donné, a > 6 > <r. Les projections des lignes de courbure sur le plan des xy sont, pour l'un des systèmes, des ellipses

X et Y é&nt les coordonnées d'un point de l'hyperbole

et, pour le second système, des hyperboles

dont les demi-axes sont les coordonnées d'un point de l'ellipse

Sur le plan du grand axe et du petit axe les projections des deux systèmes de lignes de courbure sont des ellipses.

2. Lorsque trois surfaces se coupent orthogonalement, l'intersection de deux quelconques d'entre elles est une ligne de courbure de l'une et de l'autre.

3. Lorsque deux surfaces se coupent suivant une ligne de courbure commune à l'une et à l'autre, elles se coupent sous le même angle en tous les points de cette ligne.

35a COURS d'a:^ài.yse.