Équation différentielle des lignes de courbure, — Soit
l'équation d'un paraboloïde elliptique. On a, dans cet exemple,
L'équation générale (719)
jl -h p*) dx -^ pq dy (IH- q^)dy '\-pqdx
rtlx -f- sdy ' sdx -f- tdy
devient
OU, en ordonnant,
ab' dx^ \b a"^ a'b ab^j
dx a^b"^^
^t, multipliant par -^j
\ab^x*dx* \b a n^b aby x^ xdx (3)
^Wr''^'^^ '
a48 COURS D*ÀNÀLTS£.
c'est rëquatîon différentielle des lignes de courbure du paraboloïde elliptique.
Intégration de V équation (3). — Si Ton faitx* = J', j* = i/, cette équation devient
.. I /^"V (^ ^ ^ u \ du u
Comme « et t' n'entrent qu'à la première puissance, on peut y satisfaire en substituant à u une fonction linéaire de f^. Posons
u = cp-\- c f d ou —- = r.
En remplaçant u et — par eu 4- c' et c dans l'équation (4), les termes qui multiplient i^ se détruisent, et il reste
[b a ab^)'' a^b-"^' d'où
, ab {a — b)c
à -h ac
La constante c reste donc arbitrai re^ et comme l'intégrale ne doit en déterminer qu'une, il en résulte que w = ci^-f-c', ou ff\ , -. ab (a — b)c
est l'intégrale générale de l'équation (3). En faisant varier c, on aura les projections sur le plan des xy de toutes les lignes de courbure. Ces projections sont des ellipses si Ton a c<^o, des hyperboles quand c est >o. Elles ont toutes leur centre à l'origine.
Déteimination de la constante c, — Si l'on veut avoir les lignes de courbure qui passent par un point {x\y', z') de la surface, on déterminera c par l'équation
y^ = ex'' H — ^ 1-,
b -{- ac
CIZrQUANTE-SIXlÈME LEÇON. ^49
OU
(6) ax'^c^ ^- [^j/» ay'^'^ah{a ^h)\c — bf^ = o.
On en tire deux valeurs de c réelles et de signes contraires, puisque a et & sont de même signe. Ces deux racines étant désignées par m et — n, les projections des lignes de courbure seront représentées par les équations
(7) y^=z mx^ H }— ^— ,
(8) ^»=r-/IX»-f-
b -f- am ab{a — b)n an — b
La première courbe est une hyperbole, la seconde une ellipse.
Discussion. — La constante m peut varier de o à l'infini, mais la constante n doit être plus grande que ? et
ne peut varier que de- à Tinfîni. En effet, Téquation (8)
étant mise sous la forme
abia — b]n
y^-Jrnx^=: i -L,
an — b
le second membre doit être positif: donc, puisque a est
^ bj il faut que l'on ait an — i > o, ou n > -•
Examinons maintenant les hyperboles représentées par l'équation (7). A cause de l'hypothèse a'^by elles ont, toutes, leur axe réel dirigé suivant l'axe des^. La valeur du demi-axe transverse est
'ab(a^
b -+- am
/ab(a
ou bien
Si m varie de o & Vinfini, cet axe augmente de o i
