NOTIONS PRÉLIMINAIRES
727. Le but général du calcul dîfférentîel est de chercher les limites des rapports des accroissements simultanés de plusieurs quantités variables, ce que Ton peut faire sans considérer les valeurs numériques de ces accroissements. Dans le calcul aux différences finies, on s'occupe, au contraire, de ces valeurs numériques et on en cherche la loi.
Soient
une suite de valeurs successives que reçoit une quantité variable. Si Ton retranche chacune de ces valeurs de celle qui la suit, on obtient ce qu'on appelle les différences premières de ces valeurs, et on les représente par
en sorte que l'on a
//, — tto = Airo, «, — «, = A»,,.. ., «fl+c — «^« = Aii„....
En opérant de la même manière sur la suite des différences premières, on obtient une suite de différences secondes, qu'on représente par
A»Wo, A«w,, A'wj,..., A'ii»,....
CIKQUÀZf TE-SEPTIEME LEÇOII. 253
On a donc, par définition,
AUi — A«< = A*a., A1I3 — Att| == A^£/i,. . • •
On formera de la même manière les difTérences troi^ sièmes, quatrièmes, etc.
Par exemple, la suite des carrés des nombres entiers
a pour différences premières
et pour différences secondes
les différences troisièmes et, par suite, les différences d'un ordre supérieur, sont nulles.
Dans cet exemple, toutes les différences secondes sont égales à 2. Si Ton admet la généralité de cette loi, on pourra prolonger indéfiniment la suite des différences premières, et, par leur moyen, celle des nombres carrés.
728. Le calcul des différences est fondé sur quelques principes analogues à ceux qui forment la base du calcul différentiel.
En premier lieu, u, (^, z étant des quantités variables, on a
(1) A(a-hP — z) = Aa-+- Ap — Az,
c'est-à-dire que la différence dUine somme est égale à la somme algébrique des différences de ses parties. En effet,
A(a 4-f — z) = («, H- P, — Z|) — (a -hp — z) = («, — w) -4- (p, — P) — (Zj — z) = Att -f- Aï' — Az.
La différence d'une constante est nulle. Donc
(2) A(a-+-flj = Aa.
On a encore
(3) ^auz=zaAUf
car Aau = au^ — au= a (tii — u) = a Au.
EXPRESSION DE A"/l.
729. Proposons-nous de trouver l'expression de A'u en fonction de i/, Ui, . • . » 2/„. On a d'abord
Att == a, — w, Aa, == ttj— a,.
Mais
A'a r= Aa, — Aa;
donc
A'« r= «a — an, 4- If.
A*i/i doit être composé avec Us, zis, li^, comme A'u avec Usj Ui, u. On a donc
A*W| = «â — 2tt, + tt,,
et en retranchant A*ii de A'ui ,
A^tt = «3 — 3 «2 -f- 3 «i — a.
On trouvera de la même manière
et ainsi de suite. On voit que les coefficients numériques qui entrent dans l'expression des différences A'u, A'u, A^u, sont les coefficients des puissances deuxième, troisième, quatri^ème du binôme, d'où l'on conclut, en généralisant ,
(i) A^a = Un— nun^i H «„-, — ... db «,
ou, sous une forme symbolique,
égalité qui tiendra lieu de la précédente, pourvu qu'après
CINQUANTE- SEPTIÈME LEÇON. 25î^
avoir développé le second membre par la formule du bînome, on remplace u^, ii*, u*,. . . , par m, Uj, t/g, . . . . Pour démontrer la généralité de cette loi, posons
(2) A"a = Un — Aa«, -i-Ba;,__2 — Ctt„.8 -f-. . .±«, On aura également
(3) A'»tt, = i/„+i — An» -f- Bw«-, — Cii„-2 +. . .±: //i, et, en retrancbant A^ii de A"U4 ^
Un^X — C
Or, si I, A, B, C,. • . sont les coefficients de [x H-i)", on sait que i, i-f-A, A-hB, B-f-C,.., seront les coefficients de [x H- 1)"+*. Donc, si la formule (1) est vraie pour Tindlce /i, elle l'est encore pour Tindice w H- 1, ce qui démontre sa généralité.
730. Autrement, supposons la loi démontrée pour l'indice n et posons
A«a =V Kup = {u — i)f">,
on aura
D'où
"«I =\ Kw^+,.
et, sous une forme symbolique,
à^' u =:\ ILaP (a — i).
U résulte de là
A-+'a = (a — i) y Y^uP = (« — i) (a — i)C«), et, par conséquent,
2j6 cours d'analyse.
expression du terme général d^une suite, en fonction du premier terme et de ses différences successives.
