Supposons maintenant que les valeurs doonées de x

X^y Xlf X^J • . . , X^^

soient quelconques. Posons

(i) a = A-{-B^-i-Car»H-...4-G^.

) On a, pour déterminer les /» -H i coefficients A, B, . . . , G»

CIJVQUAIÎTE-HUITIEME LEÇON. 2^3

les /i + 1 conditions

II, r= A -{- Bxo -f- Ca?J +... 4- G^î, a, — A + Bx, -4- Car; -4- ... -h- Gx", (2) < «2 = A4-Bj7aH-CxJ+...H-G^^,

\ tt„ = A -h B j:„ 4- Cx^ -4- . . . -f- Gj:^.

D'après les formules relatives aux équations du premier degré, les expressions des inconnues A, B, C,..., G. coriliendronl Uo, «i, . . . , m„ au premier degré. En remplaçant A, B, C, ... 5 G, par leurs valeurs dans la fonction u, et réunissant tous les termes qui renferment Uq^ Ui,..., u„, on aura donc

U = P«f/o -f- P| W| -f- PaKî H- • . + P««ii>

Po, Pi, Pî, . . . , P„, étant des fonetions de a: et de x^j x^ Xi,. , . , Xn* Si l'on fait x = Xo, dans la formule précédente, on doit trouver u = Uo, ce qui exige que l'on ait

P, = I , Pi = O, Pa = O , . . . , P„ = O, pour JC = Xftj

car les quantités i/o, lii, zi,, . . . , u»? n'ont aucune dépendance entre elles. De même, on aura

Po=o, Pi==i, P,=:o,..., P„ = o, pour Jt = ^i,

et ainsi de suite.

La fonction Pq devra donc être nulle pour x = Xij x = j^s , . . . , x = a:„^ et comme elle est du /i""*' degré, on peut écrire

Po = K (a: — or, ) ( j: — a:,) . . . (a? — ar„),

K étant un coefficient numérique. Mais Pq doit être égal a l'unité pour X = Xo, donc

d'où résulte

[x, — Xt ) {Xf —«,)... (x^ — x^)

^y6 COURS D^lfALTSE.

Ou trouvera de même

p __ (J? — Xq) (x — X,). ..(X— JT, ) [Xx — X^j [Xi — X2) . . .(^i — x«)

p __ (JT --- .r,) (j; — .r^) {x — x^) . . ,(x -^ x„)

(Xi— X^) (Xj— X^) {Xj— Xi). . .(J72— ^n)'

et ainsi de suite. En portant ces valeurs dans Fexpression de i/, on aura la formule d'interpolation due à Lagrange,

^__ (j? —Xx) (.r —Xj). . ,{x —Xn) ^

"^ (x^—Xi)[x9 — X2). . .{x^—x^)

(x — X^) {x -^X^). ..(x — Xn) ^ (3) < (Xi — X^){Xi^X^)...{Xx — Xn)

f (.y •— Xq) {x — Xx). . . (.r — Xn i)

\ {Xn— X,) (a!„ — a:,).. . ( J?n — ^«-1 ) ""'

Il n'existe pas d'autre fonction du n'*"** degré remplissant les conditions énoncées, car si Ton avait encore

M = A' -f- B'x -i- . . . 4-GV, il faudrait que la différence

devint nulle pour les /z -f- 1 valeurs ,ro> ^n «^Cj, . . . , a:„, ce qui est impossible, car une équation du /i*'*"* degré ne peut admettre plus de n racines.

750. La formule de Lagran^ge peut se déduire de la décomposition, en fractions simples, d'une fraction algébrique rationnelle jj—.^ dans laquelle le degré de ç {x)

est moindre que celui def(x), et dont le dénominateur a toutes ses racines inégales.

Posons

ep {x) = «, /(x) = (x — X,] {X'-x,),.. [x — Xn) :

on a (I, 331):

Maïs (j>(xo) = Mo ei

Donc, SI l'on multiplie les deux membres de Tégalîté (4) pary(j:), on trouvera que <f{x) est la somme de plusieurs termes de la forme

( j? — .r,) {œ — x^] . . .{x — - Xn)

FORMULES d'approximation POUR LES QUADRATURES, RECTIFICATIONS, CUBATURES.

751. L'évaluation des aires, des longueurs, des volumes se ramène, en dernière analyse, à la détermination d'une ou de plusieurs intégrales définies relatives à une seule variable. Mais il est souvent impossible d'effectuer l'intégration indiquée, et il faut recourir à des formules d'approximation.

Supposons qu'il s'agisse d'évaluer l'intégrale »x

f{x)dxz=zS,

ou Taire de la courbej^=/^(x).

La formule d'Euler (746) offre un premier moyen d'obtenir une valeur approchée de celte intégrale. On peut aussi, à l'aide des formules d'interpolation, remplacer f{x) par une fonction entière du j^'*'"* degré que l'on intégrera, ce qui revient à remplacer la courbe j^ =:y( a:) par une parabole du j^**'"' degré qui a w 4- 1 points communs avec elle. On peut encore prendre une suite de paraboles du second degré, et remplacer les parties corres-

E 378 COURS d'analyse.

^ pondantes de l'aire cherchée par celles de ces paraboles.

I C'est celte dernière méthode que nous allons développer.

|- Partageons Tîntervalle X — Xo en un nombre pair n

% de parties égales. Par les trois points de la courbe,

(xo,j"o), (a:i4-A,jt), (xo 4- 2 A, j^i), faisons passer une

^; parabole du second degré dont Taxe soit parallèle à Taxe

des y, ce qui est toujours possible, comme on sait. Désignons par z l'abscisse comptée à partir du pied de la première ordonnée. L'équation de la parabole sera

jr =A -hBz-hCz\ et nous aurons

X, = Ay j,z=AH-BA-4.CA„ 7' = A + 2BA + 4CA';

l et ensuite,

r ydz= ^ (sa + 3B^ + 4CA^)

:=^(A + 4A+4B^-|-4CA»-t-A-f-2BA-f 4CA'); par conséquent,

On opérera de la même manière sur les autres parties de Taire, et Ton aura une valeur approchée de cette aire en faisant la somme de ces parties, savoir :

3 (/o + 4r. -HrO + 3 (^' -^ ^OTz -^Xk)

ce qui revient à

Cette formule est due à Thomas Simpson.