Soient

Téqualion d'une courbe CMD, et

cinquAnte-weuvième leçon. 281

Téquation d'une autre courbe C'ND' qu'on obtiendrait en faisant varier extrêmement peu la fonction {[x) . Si Ton appelle oy l'accroissement de l'ordonnée MP quand on Fig. i3i. passe à la seconde courbe, l'ab-

scisse restant la même, on aura

^7 = NP — MP, ou

Cette différence âj est ce qu'on nomme la variation de l'ordonnée ou de la fonction.

On voit par là que la différentielle est l'accroissement de l'ordonnée quand on passe du point M à un point infiniment voisin sur la même courbe^ tandis que la variation est l'accroissement de cette même ordonnée quand on passe du point M à un point infiniment voisin sur une courbe infiniment peu différente de la courbe donnée.

756. On ramène les variations aux différentielles en regardant j^ comme une fonction de x et d'un paramètre arbitraire t. Soit

et supposons que 9 (^5 t) devienne i[x) pour une certaine valeur de f , et que pour une valeur peu différente, ^4-5^, cette fonction devienne ê[x). En appelant ^j l'accroissement infiniment petit dey, lorsque t reçoit l'accroissement ^t^ on aura

Si, au contraire, t reste constant, on a

dYz= ^ dx,

-^ dx

Ainsi ày et dy sont les différentielles d'une même quantité-, mais ^y est la différentielle de y considérée comme fonction de f, x restant la même^ tandis que dy

a8a couBS d'analyse.

est la différentielle de y considérée comme fonction de a:,

t ne changeant pas.

757. Il est souvent nécessaire de faire varier, à la fois, X et j^, quand on passe de la courbe proposée à la courbe infiniment voisine. On représente alors par $x et par Jj les accroissements, d^ailleurs arbitraires, de ces deux variables. On peut, sans établir de liaison entre ces accroissements, regarder x ^ly comme des fonctions d^une variable indépendante ii, et d'un certain paramètre t : soit

On supposera que pour une valeur particulière de f, par exemple t = o, j^ devienne une certaine fonction de j:, f (j;) et que x devienne une fonction quelconque de u,f(u)» On aura donc

En faisant ensuite varier t d^une manière continue, à partir de o, la forme de la fonction de x, représentée par j-, changera insensiblement.

Pour avoir les variations de x et do Xy on multipliera par ât les dérivées de 9(11, t) et de tp(i/, t) par rapport à ty et l'on aura

au lieu que, si laissant à t une valeur constante on faisait varier u, on aurait

dx:=L -^ du , du

djrz=z^ du.

758. Lorsque xel j prennent les accroissements ^x et dy, toute fonction U, qui dépend de x^ dej^, et d'une ou de plusieurs dérivées àej par rapport à ar, prejid un accroissement correspondant AU. On appelle variation de U la partie de AU qui ne dépend que des premières puissances des variations dx et $y.

Or, d'après la formule de Taylor, on a dx dy

On aura donc

d.x dy

Si l'on considère x eiy comme des fonctions d'une variable indépendante u et d'un paramètre f, on aura

-j- désignant la dérivée par rapport à t, de U considérée

dY dx comme fonction de x^r^ ---t —z — ? • • » > et ces dernières *^ dx dx

quantités comme fonctions de t,

759. On appelle variation seconde d'une fonction U la variation de 5U : on la désigne par cî*U, La variation de celte dernière est appelée variation troisième de U et se désigne par d^U, et ainsi de suite.