On peut aussi inteivertir l'ordre d

En effet, soit

soient i/q et Ui les valeurs de la variable ind^ qui correspondent aux limites 0*0 ^^ 0^1 : on a

f Wdxz= Y^du.

Supposons maintenant que t se change en viendra

.. du

Puisque les limites u^ et Wi sont îndëpend variable t à laquelle se rapportent les diff indiquées par la caractéristique 5, on peut

le signe | > ce qui donne

sous

mais u ne variant pas avec f, on a

\ du/ du

et si l'on opère l'intégration par rapport

résultera *

ou bien

CIlUQUANTE-ffEUVIÈME LEÇON. ^85

ce qu'il fallait démontrer

VARIATION d'une INTÉGRALE DÉFINIE. — CAS OU LA FONCTION SOUS LE SIGNE I NE DÉPEND PAS DES LIMITES <

763. Proposons-nous de trouver la variation de l'intégrale définie

où V désigne une fonction quelconque de a:, de^ et d'un certain nombre de dérivées de y prises par rapport à x. Pour simplifier, nous supposerons que le nombre de ces dérivées se réduise à deux : soit

D'après le théorème démontré (762), on a d'abord

(i) $li= f'âiYdo').

Mais

^.Vdx = SY.dx + N.$dx = $y.dx -f- V.dSx.

Or, on a en général

ÇydBx = V^:r — Csxdy.

Donc, si (V5j:)o et (V(îx)i désignent les valeurs de ^àx

^86 COURS o'AIiÀLTSE.

qui correspondent k x = Xq et k x = Xi, et si Ton pose pour abréger,

on aura

(2) f''\dSx = iVix)l- f'sxdY.

Substituant cette valeur dans l'équation (i) qui revient à

il en résultera

(3) ^U=(V*x)i+ r\BVdx^èxd\),

Par cette première transformation, la fonction V n'entre plus sous le signe / que par sa variation et par sa différentielle.