Les calculs par lesquels nous venons d'évaluer

la variation d'une intégrale définie peuvent être modifiés 1 dans les applications.

On a, précédemment (762), obtenu la formule |

Après avoir remplacé dans V, qui est une fonction de x^y^

p et <7, ces deux dernières quantités par —-? ~;7~~' ^^ 3

prendra la variation de ^ dx en considéranr x, y^ dx^ |

dy, d -j- comme des fonctions du paramètre t. Le résultat .|

contiendra, sous forme linéaire, les variations $x^ dy, â

et Sdxy ddjr, .... ou les différentielles dâx^ ^^Jt • • • • %

Comme on doit ensuite intégrer par rapport à jc, on fera 1

sortir du signe J , au moyen de l'intégration par par- va

ties, les différentielles des variations ^x^ $j^ de sorte É

qu'il ne restera sous le signe, que ces variations multi- 1 pliées par des quantités qui en sont indépendantes. Le

aga cours d aitalyse.

résultat sera de la forme

(II) $ f^\da: = T-^ f \ESa:-i-KSx)dx,

H et K étant des fonctions connues de a:, j et des dérivées de y^ mais ne contenant pas les variations de ces variables. En comparant ce résultat avec celui qu'on a trouvé plus haut (766)

' V^^ = r4-/ {T^By — Kp^x)dx,

on en conclura que F et K doivent être les mêmes dans les deux expressions, et qu'on a identiquement

H = — Kp.

771. Le calcul qui a donné Téquation (I) n'a servi qu'à mettre en évidence cette relation. Dans les applications, on suivra la marche qui nous a conduit à la relation (II), sans passer par l'intermédiaire de la quantité auxiliaire oo, et sans recourir aux formules générales (766).

Si l'on ne faisait varier que j^, on aurait ^x = o et

Jx^ Jx^

r' se déduisant de F, par la suppression des termes qui renferment Sxq et âxi.

Si Ton faisait varier x seulement, on aurait

\dx=iT''-j- / mxdx

' KpBxdXy

F'^ représentant ce que devient F quand on y fait cîj^o = 0,

772. Les mêmes remarques s'appliquent au cas où il entre dans la fonction V une autre fonction z àex avec

SOIXANTIÈME LEÇON. SpS

les dérivëes p' ei ^' de z. On arriverait à une équation telle que

Mais la marche suivie pour trouver la relation (II) donnerait encore

et ces valeurs doivent être identiques. Il faut donc que Ton ait

H=: — (K/?-i-Ry).