MAXIMUM ET MINIMUM D^UNE INTÉCHALE DÉFINIE

773. Proposons -nous maintenant de déterminer la valeur de j- en fonction de x qui rendra Tintégrale

ydx

un maximum ou un minimum. Pour fixer les idées, supposons que U doive être un minimum, et soit y =:f(x) la fonction cherchée. U faut qu'en donnant à x eiky des accroissements arbitraires et infiniment petits dx et iy,

l'accroissement correspondant de l'intégrale / Ydx

soit constamment positif, quels que soient les valeurs et les signes de Sx et de Sy, Or, l'accroissement de cette intégrale se compose de deux parties. Si Ton pose

AU==iîU-l-p,

la première partie â\3 renferme les variations Sx, 3y, Spy Sq au premier degré, et sous forme linéaire ^ la seconde partie contient les puissances de ces variations supérieures à la première et leurs produits. Quand ÔU n'est pas nulle, le rapport de |0 à dU a pour limite o. Donc, si

l'on suppose dx eidy infiniment petites, le signe de AU sera le même que celui de d\]. Il faut donc, pour que 13 ait une valeur minimum, que Ton ait JU= 05 car autrement, en changeant les signes des variations dx et <îj' sans changer leurs valeurs absolues, le signe de oU, et par conséquent celui de AU, serait changé, et U ne serait pas un minimum. Ainsi

est la condition du minimum 5 c'est aussi celle du maximum, car la différence AU doit aussi, dans ce cas, avoir toujours le même signe, ce qui ne pourrait être si la variation de U était différente de o.

La condition dl] = o n'est pas suffisante pour qu'il y ait maximum ou minimum. En effet, d'après la série de Taylor, on a

AU = ^U -f- — 52U H î-^ (î^u -i- . . . ,

si cîU est nulle, le signe de AU dépendra de celui de 5*U pour de petites valeurs de dx et de ^j. Par conséquent, si d'U reste toujours positive, lorsque les variations âx et Sj changent d'une manière quelconque, tout en restant infiniment petites, U sera un minimum. Si, au contraire, 5*U reste négative, quels que soient dx et dy^ U sera un maximum. Enfin U ne sera ni un maximum ni un minimum si cî'U peut changer de signe. Mais on est souvent dispensé de cet examen par la nature de la question qui indique clairement l'existence d'un maximum ou d'un minimum.