APPROXIMATION DES ARCS DE COURBE

7. Soient AB un arc convexe , un point pris dans la concaçité

de cette courbe, tar l'angle des normales extrêmes^ en désignant

par Po7 P(j Pa> • • • > pin ^^^ rayons de courbure qui font avec la nor^

, . , A 7 1 tj aor 3cr

maie au point A les angles o, — ? — î — ? • • • > on aura '^ ^ ^ in %n VLn

AB > ^ \J*±S.i±h±ll^±^±», n

si d'ailleurs -^ est négatif pour les valeurs de &> comprises entre o et tr.

Ces deux inégalités résultent de ce que / pdtù peut être considéré comme Taire d'une courbe convexe dont p et w seraient les coordonnées rectangulaires.

8. «Sï est le point de concours des normales extrêmes, et p^. Pu Pi^ • - • t Pin ^^^ perpendiculaires abaissées sur les côtés d'un po^ fygone équiangle circonscrit à la courbe AB, on aura

AB==lima ^^- + ^'+^; + --+'^»" pour;i = c., AB = lim tr PL±PjL±^m±P^T\ pourw ^ « .

KOTE V, 379

9. Soit CD une droite partagée au point E en deux segments , CE = «, CD = ô. Si l'on partage en in parties égales la demi' circonférence décrite sur CD comme diamètre et que l'on désigne P^^ Pt^Pi > • • • » Pvt ^^^ droites menées du point E aux divers points de division, le périmètre de P ellipse ayant laet^b pour axes sera compris entre deux circonférences ayant pour rayons : la première

iPc-^Pi-^Pi-^'-' + JP^ ^ n et la seconde

Px±2l±JLLl±PjS=l.

Le théorème aurait encore lieu si le point E était pris sur le prolongement de CD et que l'on eût encore EC = a, ED = b,

40. X/7 moyenne des distances d*un point pris dans le plan d'un cercle, aux sommets d'un polygime régulier d'une infinité de côtés inscrits dans le cercle, est égale au périmètre d'une ellipse ayant pour demi-axes la plus grande et la plus courte distance du point à la circonférence, divisé par 27r. — Cas ou le point est pns sur la circonférence»

Conséquence de (9).

ii. Le périmètre d*une ellipse ayant pour axes ia et ^kb^a"^ b, étant désigné par E, on a

E>27rô, E<a7ra

P^^ a+b'hs/^a'-h'iO' ^ Ja^+b^+\^'3La'^i%à'b'+ib' li>a7r ^— , E<27r-ï i-i ,

Conséquence de (9).