FORMULE POUR LA RECTIFICATION DES ARCS DE COURBE PLANE

i . Soient AB une courbe plane, un point pris dans son plan, OP une perpendiculaire à la tangente menée à la courbe AB par un de ses points M : La normale à la courbe, lieu des points P, s^obtient enjoignant le point P au milieu de la droite OM.

2. Si Von désigne par p la perpendiculaire OP et par w Vangle que cette droite fait avec un axe fixe, on aura

Cela résulte de ce que PM est égale à la sous-normale de la podaire (c'est ainsi qu'on nomme le lieu des points P), quand on considère /? et ft) comme des coordonnées polaires.

3. Si du point on abaisse une perpendiculaire OQ sur la normale CM à la courbe AB, C étant le centre de courbure, on aura

car le point Q appartient à la podaire de la développée de la courbe AB.

-4. Si Von désigne Varc AB par s, et par aet p les angles que les normales aux points A et Bfont avec un axe fixe, on aura

En effet, p étant le rayon de courbure, on a

5. Quand le point Oest le point de concours des normales extrêmes et plus généralement quand les extrémités de Varc AB sont égale-

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ment distantes ries points correspondants de lapodaire, on a

(II)

r = / pdt

Conséquence de (2) et de (4).