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594 à 600. Cas ou l*on connaît un certain nombre d'intégrales DE l'équation privée DU SECOND MEMBRE. — Si Von Connaît n intégrales distinctes de Véquation linéaire privée de second membre^ on pourra ramener l*équatiou complète à une équation linéaire du (m — /i )''*'»« ordre.
On pourra donc abaisser Tordre de Téquation (I) d'autant d'unilés qu'on connaîtra de solutions particulières de Téquation (II), et l'intégrale générale de l'équation (I) sera de la forme
\ étant une solution quelconque de l'équation (I). L'équation linéaire n'admet pas de solution singulière.
601 à 607. De quelques cas ou l'on peut intégrer l'équatioii
linéaire a second MEMBRE.
608. Propriétés de l'équation du second ordre. — Quand on connaît une intégrale particulière x^ de l'équation
on a
dr 609. La fonction y et sa dérivée —• ne peuvent pas être nalles
en môme temps. La même propriété appartient aux fonctions /,
dx
Deux valeurs de x qui annulent j^ comprennent une valeur de x |ui annule^.
RfiSOLUTION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES PAR LES SÉRIES. 610. DÉVELOPPEMENT PAR LA SÉRIE DE HACLAURIN. — Quand
certaines dérivées deviennent infinies pour x = o, la série tombe en défaut, à moins qu'on n'attribue des valeurs convenables à d'autres dérivées qui ne sont plus arbitraires. Dans ce cas, la série contenant moins de m constantes arbitraires ne représente plus rintégrale générale, mais seulement une intégrale particulière. Exemple :
d^y dy ,
611 et 612. MÉTHODE des coefficients INDÉTERMINÉS.
613. Autre forme de développement. — L'équation linéaire du second ordre
peut toujours se ramener à une équation à deux termes
R étant une fonction connue de x.
614 et 615. En posant r = A 4- Blx — a), on a
f dx\ Yitdx-\-\ dx f B,dx I dx f Rf^/jr-f-...,
suite indéfinie dont chaque terme se déduit du précédent en le
4o8 TABLE ÀNÀLTTIQDE
multipliant par Rd[r', et en intégrant par rapport à x deux fois entre les limites a et x. Cette suite est convergente quand la fonction R ne devient pas infinie dans l'intervalle où Ton fait varier x.
d'^z On traitera de la même manière l'équation ^^ = Rz, et Ton
aura une série où chaque terme s'obtiendra en multipliant le précédent par Ys.daf* et intégrant m fois.
