Exemples. — i
(i) jrdy. — jrdxz= dx ^ x^ 4- J^.
Celle équation est homogène et du premier degré. En appliquant la méthode précédente, on la ramène d'abord à
dx dz
d'où Ton lîre, en intégrant,
\xz=z\c[z -hv/T" ou
ce qui donne, en remplaçant z par -> et en faisant disparaîlre le radical,
(2) x^zzi^cy -\- c^.
On parvient à Téquation différentielle (i) quand on résout ce problème : Troui^er une courbe MNP telle, que le rayon vecteur OM soit égal au segment OT compris entre V origine et le point oit la tangente MT rencontre Vaxe desj. D'après Téquation (2), cette propriété appartient à toutes les paraboles qui ont pour axe la
droile Oy et pour foyer le point O.
2® xdx -\-ydx z=^njrdx.
On trouve
46 couKS d'akalysb.
ou
U 4- - 1 (i -- 2/iz -h z^) -f- I = G.
Quand ;/ = i, on arrive à l'équation intégrale
En différentiant, on a
équation homogène dont l'intégrale est
On a
et rintégration peut toujours s'achever.
ÉQUATIOirS QUE l'on peut rendre HOMOGENES.
508. On peut quelquefois rendre homogène une équa* lion qui ne présente pas ce caractère. C'est ce qui arrive pour l'équation
(i) (a -^ mx -h ny) dx -\- (b -^ px -h qx) ^X = <^'
En posant
on a
(a -f- wa + « 6 -4- mx^-\' «y')dlr'-4- (^ 4-/?a -f- y 6 -f-/>Jî'+ qy*) dy.
Il suffira, pour rendre cette équation homogène, de poser
a-f-/waH-/ï6=:o,
QUÀB.ÀIÏTIÈME LEÇON. 47
d'où l'on lire
bn — aq ap — bm
mq — np mq — np
et il restera Téquation
(2) {mx* -\- ny*) dx' -^ {px' -h qy') dx'==o.
509. Celte transformation est impossible si mq-— np=o. Dansée cas, on a ^= — , et Téquation (i) devient
m (a 4- mx -i- nj) dx -h [mb -h [mx -+- ny] p^df z:^ o*
On pose ^
mx -\- nyz= Zy d'où
dz — m dx n il en résulte
\ , / f . dz — m dx
m (a -^ z) dx '\- [bm ~hpz) mo
et
l^\ ^^ (bm -+-pz)dz
(ô) m€tx= 7 -— — — ,
àm — an -^ {p — n) z
équation où les variables sont séparées.
Si, en même temps que mg — /i^ = o, on a ^ = o, il faut que ra ou p = o, et les variables se séparent immé* diatement.
