La condition nécessaire et suffisante pour que j
M (M^/o: H- N^) soit une différentielle exacte esl ï
«VM eiif^ ^
r/jr dx {
ce qui revient à l'équation |
^ ' f/x û[x \^/r dx ) j
Quoique cette équation soit en général aussi difficile à %
résoudre que la proposée, elle peut cependant, dans quel« %
ques cas, servir à trouver le facteur sf : i
1° Si v' ne doit dépendre que d'une seule variable, x par %
exemple, on a — = o, et l'équation (i) se réduit à 1
. 1 d(f (ty dnn . Xs
Par hypothèse, le premier membre ne dépend que de:r j <\
donc, on doîl avoir
dM
Cette condition est suffisante; car si elle est remplie, on satisfera à l'équation (2) en prenant
Le calcul est plus simple si Ton suppose N = i, c'està-dire si l'on met Téquation proposée sous la forme rf^ -h M(ij: = o, ce qui est permis. On a, dans ce cas,
d'où
M = Pr + Q.
L'équation proposée devient
Il suffit donc, pour rendre différentielle exacte le premier membre de cette équation, de le multiplier par e^^***. On a
dx
+ Pjre/P^ + Qe/P^' = G ;
d'où (499)
eS^dxyr^ j qeS^'^' dx z= C.
C'est le cas de l'équation linéaire (5H).
2® Si le facteur t^ est de la forme XY, X étant une fonction de a:, et Y une fonction de jy on a
^.r dx
d, dY
dj djr
et l'équation (i) revient à
rlX^ __ dY^ __ dM d^ Xdx Ydj ~" dy dx
Si cette condition est remplie, on aura
537. L'emploi du facteur i^ donne les méthodes précédemment exposées : ainsi, la séparation des variables dans Téquation
XYr/^-i-x,Y,fl!r = o,
ou X et Xi désignent des fonctions de Xy et Y, Yj des fonctions de jr^ revient à multiplier Téquation proposée
par le facteur :^-:=r* XiY
La transformation employée dans l'intégration de l'équation homogène revient aussi à la détermination d'un facteur qui rend le premier membre inlégrable. En effet, l'équation (3) du n° 506 n'est autre chose que l'équation proposée divisée par x""^^ [9(2) ■+" ^^ (^)]* En remplaçante par -î x"'(f ( - j par M, x'"(j; ( - j par N, on voit que le facteur u est, dans ce cas,
Mx -+- INjr Il est d'ailleurs facile de vérifier que -~ r; — est
alors une différentielle exacte. Il suffit, pour cela, de démontrer que
djr "^ dx
Cette équation revient, après quelques transformations, à la suivante :
ou
NMw — NM/w = o,
car les fonctions M et N étant homogènes et de degré m, on a identiquement (I, 178)
dU r/M „ d^ rfN ^,
Si le premier membre de l'équation homogène est déjà une différentielle exacte, on pourra prendre pour premier
facteur i , et pour second — — • Leur rapport, égalé
à une constante, donnera Fintégrale qui sera, par conséquent,
Ma? -4-N^ = c.
EXERCICES
1 . aydx -h bxdy 4- oc^x^ [cydx + exdjr) = o. Solution : Le premier binôme devient intégrable lorsqu'on le
mulliplie par a:*-'/*-' ^(jc*/*), et le second par — -^^^-^ ^(-^"r*)-
Ou peut déterminer les fonctions «pet >^ de telle sorte que ces deux facteurs soient écaux.
