existe une infinité de facteurs propres à rendre

le premier membre de V équation (i) une différentielle

exacte. En effet, si nous multiplions les deux membres

de l'équation

p{^dx H- ^dy)=zdu

par une fonction quelconque de m, ç (w), il vient

v^[u) (M^a:-f NJy) = <f {u) da = df^ (u) du.

Ainsi, ^^{u) (Mdx^T^dj) est encore une différentielle exacte, et le facteur t^y (w) jouit de la même propriété que le facteur i^.

Exemple, xdy — ydx = o. Celte équation donne

dy dx „ , ^ y ^

— = — » d'où y = Cx, ou - = C = K.

Le facteur, t^, le plus simple qui rend arc?^ — ydx une dif-

QUAUAJSTE-DEUXIÈMB LFÇOJ». 65

férenlieile exacte est donc — • Tout autre facteur, vcp («), est de la forme —?(-)• Ainsi y (m) = « donne le facteur -^t et l'on a

xydy — y'^dx i r'

ffi(/i) = - donne le facteur — et

' ^ ' « xy

^IL ^ — ,,r.

y X jî'

o[u] = ; donne le facteur et

xdy — ydx y ;; — = d arc tang - •

533. Réciproquement tout fadeur Y propre à rendre Mdx-h'^dy une différentielle exacte est de la forme vo[u). En effet, soit

\[^idx-^^dy) = d\i X on a

p{^ldx +Nc?jr) = ^«; donc

• d'iJ = \du.

Celte relation entraîne les suivantes :

rnj y^ dn \ du

d.v ç dx dy p dy

Soit u=f{x^f). Si l'on tire de cette équation la valeur de j^ en fonction de u et de a:, et qu'on la porte dans la valeur de U, on aura

Stuhm.— ^/ï., II. 5

5 COURS D AW ALYSE.

ifféi entiant cette équation, il vient

dx du d.T dx d\] d^du djr du djr

a ayant égard aux relations (i), ces équalious (IoîjucuI

d^], V d^ du V dx

ette dernière relation montre que x n'entre pas expli-

tement dans la fonction ({;. Donc ^ et par suite -—^ ou

9 sont des fonctions de u. On a donc

; qu'il fallait démontrer.

534. On peut encore établir ce théorème de la manière livante :

Pour que Téqualion différentielle soit satisfaite, il faut ae X elj varient de telle sorte, que l'on ait m = C^ on ira alors du = o, et par conséqueat dH = o, à cause de

i relation d\i = - du. Il suit de là que U devra toujours

)nserver la même valeur tant que u conservera aussi sa ileur C, ce qui ne pourrait avoir lieu si la fonction U ant mise sous la forme ^{u^ x)j x restait explicitement ins cette fonction.

Le principe sur lequel repose celle seconde démonstraon peut être généralisé : i/, U, </ étant des Jonctions d*un ombre quelconque de variables^ si Von a dXi = qdu^ n aura U = q (u) \ car en éliminant une de ces variables^

r'^^'*'^; y^^^-^gçî »■'■ î

QUAKANTE-DECXIÈMB LEÇON. 67 "5

a: par exemple, oq pourrait écrire 1

Or, pour toutes les valeurs de a:, y, r,... qui conservent |

à u une valeur constante, on a rfw = o, et par conséquent ^

dU= o, ce qui ne pourrait avoir lieu si j^, z,. . . entraient !

dans la fonction ({/. ^