Soient (i) Mdx-hl^djr=o ou -£=/(.r,j

une équation difierentielle, et

son intégrale. Différentions cette dernière équation par

rapport à x ^ nous aurons

d^ dy dx

(^) . -d^-'^ir

Si Ton élimine c entre cette équation et la précédente,

on doit obtenir l'équation (i), ce qui exige que --^ de-

vienne identique à — quand on remplace dans ce quotient c par sa valeur tirée de l'équation (2), et cette élimination conduirait encore à une identité, lors même que c serait une fonction de x et dej^.

539. Cela posé, je dis que si Ton connaît l'intégrale F(a:,^, c)=o d'une équation différentielle, on peut déterminer les solutions singulières de cette équation.

Soit

une solution singulière, c'est-à-dire une équation qui satisfasse à l'équation (i), mais qui ne puisse se déduire de rintégrale générale en attribuant à la constante une valeur particulière. On peut faire rentrer Téquation cp [x^y) = o dans cette intégrale, en y remplaçant c par une fonction convenable, car il suffit de poser

d'où Ton déduit la vîileur de c en fonction de x et de/. Cette valeur étant déterminée, si l'on diflerentie l'équation (a) par rapport à x, on aura

^F d?dx dFdc__ ^

dx df dx de dx ' d'où l'on tire

dY dY

. ç. dy €ix de de

^ ^ di""^ dF~~ Tf^'dx'

djr djr

L'élimination de c entre les équations (2) et (6) doit

conduire à l'équation —- z=:f(^x^j). Donc l'équation (6)

se réduit à -£ =f(x^jr). Or, — ^ se réduit à f(x,f)

quand on remplace c par sa valeur tirée de 1 équation F {x^jj c) = o (538) 5 donc on doit avoir

. . de de

djr

équation à laquelle il faut joindre F {x,j^ c) = o.

Digiti

de

de

dF = '''

dy

Le système de ces deux équations se ramène aux deux suivants :

Or, le premier système donne c = une constante, et, par suite, on retombe sur Fîntégrale générale.

Le second se partage en deux :

^"~''' (IV) Mr ~"°°'

F [jc, x,c) = o, (F (x, 7, c) = o.

En éliminant centre les deux équations de chacun de ces deux derniers systèmes, on obtiendra, les solutions singulières de l'équation proposée, pourvu qu'on omette les valeurs de c qui rendent simultanément nulles, ou infi-

. , j ^ . dF d¥ ,

mes, les deux fonctions— 5 —5 parce que la première

des équations (II) se présenterait sous la forme illusoire

- = o, ou — = o 5 il faudra aussi rejeter les solutions qui

rentreraient dans l'intégrale générale en attribuant à c une valeur constante.

Ainsi, on obtiendra les solutions singulières d*une équation différentielle du premier ordre en éliminant ta constante entre V intégrale générale et sa dérii^ée par rapport à la constante, égalée à zéro, ou bien entre cette même intégrale et sa dérivée par rapport à j^ égalée à t infini.

540. Quelle que soit la forme sous laquelle se présente l'équation intégrale F(a:,y, c) = o, l'application des règles précédentes doit toujours conduire aux mêmes

DJgJtlzed by

4 COURS D ASALTSE.

dF

de >lutions. En eiîet, le rapport — restera toujours le même

uand on éliminera c au moyen de l'équation F= o, uoique chacune de ces dérivées cbange quand on trans- >rme celle équaiion. Car en regardant j^ comme une

>nctîon de c, on a

de __ dy

dF"' de'

df

aleurqui sera toujours la même, quel que soit F. Ainsi, >rsqu'une transformation de l'équation F (x^y^ c) = o

dF ;ra perdre des solutions à l'équation — = o, elle les fera

cquérir à l'autre équation — = t» .

DLUTIOKS SINGULIÈRES DÉDUITES DU FACTEUR QUI REND INTÉGRABLE LE PREMIER MEMBRE DE l'ÉQUATION.

541 . Si Ton met l'intégrale sous la forme u — c := o, n aura

dF

de I

djr dy

Linsi, toutes les solutions singulières seront données par

'équation — = o. Mais — n'est autr^e que le facteur v

dp ►ar lequel dy — f[x^y)dx devient une différentielle xacte (531). Donc l'équalion

- = o, ou v = zo p

oniient toutes les solutions singulières.