EXEMPLES DE SOLUTIONS SINGULIÈRES

xdx -\-ydy := dy sj x- -{- y'^ — û*.

Divisons par y/x*4-y* — «% il vient

, xdx -H ydr , ,

dy= --^-^ = ds/x^-hy' — a%

dont l'intégrale est

y -h c = ^x^ -h /■'' — a^y ou

2Cy -{- C^ -+- a^ — a:' =::r o ;

on aura donc

dV dF

-— =2rH-2C = 0, ou —— = 2C==Q0.

de dy

Cette dernière équation ne conduirait qu'à la valeur illusoire j* = 00 . La première donne c = — y^ et, par suite,

solution singulière. Cette solution, qui représente une circonférence, n'est pas comprise dans l'intégrale générale, puisque celle-ci représente une suite de paraboles.

Comme le facteur i^ est , on voit bien que

la solution singulière correspond à i^ = oo .

^543. a** Trouver la courbe dont la normale a une longueur constante.

L'équation différentielle est

d'où

yty

dx =

y6 COURS D^ ANALYSE.

et, par suite,

équation d^un cercle. Pour avoir les solutions singulières^ il faut poser

==o; d'où a: = ey

de X — c

et, par suite ,

On obtiendrait encore celte solution en égalant à Tin-

fîni le facteur ■ . par lequel il faut multiplier Té-

quation proposée pour séparer les variables.

Il est à remarquer que les deux droites représentées par l'équation (3) sont tangentes à toutes les circonférences que représente l'intégrale générale (2).

544. 3*^ Trouy^er une courbe dont les tangentes soient à une distance constante^ a, de V origine.

L'équation de la tangente menée par un point quelconque [Xyy) de la courbe, étant

Téquation différentielle du problème sera ou

(i) y = px'^ a\j\-\'p'.

En diflérentiant par rapport à a:, on a

QUARANTE THOISTÈME LEÇOIf. ^7

équation qui se décompose en deux équations :

dpzzzoy X 4- —====. = o.

La première donne p =. c^ d'où

(2) j = cjp -hû^i 4-C-.

La seconde donne

celte valeur étant portée dans l'équation (i), il en résulte

élevant au carré et ajoutant les équations (3) et (4), on a

La solution générale (2) représente une infinité de droites, et la solution singulière (5) une circonférence à laquelle toutes ces droites sont tangentes.

(1) ± = [y^ar.

Les variables se séparent immédiatement, et l'on trouve pour l'intégrale générale

(2) (r— «)'""— (i — n){x-^c)=zo.

Pour obtenir les solutions singulières, on posera

de I

— = ( y — aY

d^ (^ «]-/! v./ ; d'où l'on déduit, en supposant « > o,

Cette équation représente une solution singulière si n est <[ I, car, dans ce cas, on ne peut pas déduire j' = a de l'intégrale générale. Si n est > i, ^ = a n'est plus une solution singulière, puisque l'équation intégrale étant mise sous la forme

on obtient j^= a en faisant c = a> . Enfin, si » = i, l'intégrale générale est j^ — a = ce', qui devient / = a pour = 0, et il n'y a pas non plus, alors, de solution singulière.

On verra facilement que l'hypothèse n <^ o ne donne aucune solution singulière.

546. 5° Trouver une courbe telle, que le produit des perpendiculaires abaissées de deux points fixes F et F' sur la tangente soit constant et égal à i*.

Fig. Il 3.

Prenons pour axes la droite FF' et une perpendiculaire élevée au milieu de cette ligne. L'équation de la tangente est

Y~-x=p[lL^x),

et, par suite, les perpendiculaires abaissées des points

donnés sur la tangente seront, en désignant OF par c,

v^^LZ-P^-^P^. FH-^ ^T-^'-T^";

on aura donc

d'où

sli-^P' 1,2 — {r — P'-^Y—p^c^

(r—pxy=b^'^[b^-^c^)p\

et, si Ton pose i' -f- c* = a',

(l) X =px -^ s[b^-\- a-p\

QUARAfîTE-TROlSIEME LEÇON. 79

équation d'une forme connue (527). En la différenlîant/ on aura

ce qui donne d'abord dp = o, d'où p = constante := m. L'intégrale générale est donc

(3) jr = war -+- \ja}m}-\-bK

On satisfait encore à Téqualion (a) en posant

En éliminant p entre les équations (i) et (4)» on aura la solution singulière

éqaation d'une ellipse qui a pour tangentes les droites représentées par l'intégrale générale.

547. 6° Trouver une courbe telle, que la portion de la p. ,j/ tangente TS comprise entre les

I deux axes soit égale à une lon-

gueur constante a.

L'équation de la tangente est

et l'on a

d'où, à cause de Ôï' -l-OS' = TS' ,

{X-pxY[i^p')=:a'p\ On aura donc

(l) y=:px-^ ''^ •

puis, en difTérentiant,

Oz=zdp

D'abord dp ^=:s o donne ^ = c, et, par suite,

(2) y==cj^^.^^,,^.

l'intégrale générale représente donc une infinité de droites. La solution singulière sera donnée par Téquation

Si Ton substitue cette valeur dans l'équation (i), on aura

éliminant pj on aura

(3) J'-^/'=zJ.

Cette courbe est l'épicycloïde obtenue en faisant rouler un cercle dans un autre cercle de rayon quadruple. En effet, soient M le point de la circonférence mobile qui était placé primitivement en A, et K le point de contact actuel. On sait que KM est la normale de l'épicycloïde au point M, et, par suite, que MH est la tangente. Or, l'angle THK,

(pii, dans le petit cercle, a pour mesure - arc KM ou - AK,

aura pour mesure 2 AK dans le grand cercle. Donc l'angle THK est double de l'angle AOK, et le triangle TOH est isocèle. On a donc OH = HT. 11 résulte de là qu'on a également OH = HS5 et, par suite, TS = 2OH = OK. Ainsi, TS conserve bien une grandeur constante.

UNE SOLUTION SINGULIÈUE REPRÉSENTE l'eNVELOPPE DES COURBES DONNÉES PAR l'iNTÉGRALE GÉNÉRALE.

548. On a dû remarquer que dans tous les exemples traités plus haut (542 et suiv.), la solution singulière était l'enveloppe des lignes représentées par l'intégrale

QUÀ1tANTE*TnOl8TÈME LEÇON. 8l

générale. Nous allons démontrer qu'il doit toujours en être ainsi.

Soit

rîntégrale générale. Elle représente une suite de courbes dont l'enveloppe s'obtient (I, 247) en éliminant c entre cette équation et sa dérivée par rapporta c. Or, c'est précisément le calcul qui fournit la solution singulière. Le théorème est donc démontré.

On peut d'ailleurs établir ce théorème de la manière suivante. Par chaque point de la courbe A qui représente la solution singulière passe Tune des lignes B comprises»

dans l'intégrale générale. Or, en ce point — a la même

valeur pour les deux courbes A et B, puisque leurs équations satisfont toutes deux à l'équation différentielle. Donc les lignes A et B ont la même tangente au point qui leur est commun.

EXERCICES

Solution singulière :

dy^ dy

satisfont à V équation différentielle /y-jH- i^x-j- —y =z o.

Ces intégrales sont-elles singulières, ou particulières ?

Solution : La première est une solution parliculière, et la seconçlo une solution singulière.

Solution singuuère : ^^ = i H- a:'.

St. cours d'analyse.