APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

572. Quelle est la courbe dont le rayon de courbure est en raison im^erse de V abscisse ?

L'équation différentielle du problème est (I, 257) :

dp 2,x

en appelant— le produit constant du rayon de courbure

par l'abscisse du point correspondant de la courbe. On

déduit de là

a^dp

2xdxz=-

lOO COURS D ANALYSE.

et, en intégrant,

d'où

Bt, en intégrant de nouveau,

Cette équation représente la courbe affectée par une lame élastique, quand une de ses extrémités étant fixée, Tautre extrémité supporte un poids : on lui donne, pour cette raison, le nom de courbe élastique.

573. Plus généralement, si le rayon de courbure doit être une fonctiony(a:) de Tabscisse, on aura Téquation

d'où Ton déduira

et, en intégrant.

dp . dx

Cette équation, étant du second degré, pourra être résolue par rapport à p. Soit alors p = cj> (x), on aura

)dX-\-€^y

équation de la courbe cherchée, qui renferme deux constantes arbitraires c et c'.

574. Trouver une courbe dont le rayon de courbure soit proportionnel à la longueur de la normale coai'pnse entre la courbe et Vaxe des x.

QUARANTE-ONQUlâMB LEÇON. I O i

L*équation difTérentielle du problème est

n désignant une constante positive ou négative, selon que la courbe est convexe ou concave par rapport à l'axe des X (I, 235).

En prenant^ pour variable indépendante et remplace pdp çant -y- par —f-^ on aura

dy npdp On tire de là

ij = ^i;n./,') = i(n-^»)^

donc

=\/(ff-

et en remplaçant p par ■ ,

I v(fr-

Il suffit de prendre ce radical avec le signe +) car le signe — conduirait à la même intégrale.

Cette équation peut sHntégrer, diaprés la théorie des intégrales binômes, quand n est un nombre entier, pair ou impair (I, 353 et 354).

loa couns d analyse.

Examinons les cas particuliers de«=d:i,n=zh2. 1° 71 = — I : Téquaiion différentielle (2) devient

et, Tintégration donne

(ar--c')'-hjr' — c'-

Cette équation représente tous les cercles qui ont leur centre sur Taxe des x,

2^ n =^i : dans ce cas, où la courbe est convexe vers l'axe des x, on a

. rdr

et, en intégrant

X — cl (7 H- v(r'^~^) + ^••

Si Ton détermine k de manière que pour^ = c on ait jc = c', il faudra que

c' riz: cl c H- A' ; d'où

ce qui revient à

(a) ^^-yy^-^c^'nrrtf ^ .

Mais donc.

(p) jr — ^jri—c^ = ce ^ .

En ajoutant membre à membre les équations (a) et (/5), on aura pour l'équation de la courbe

(x — c' ar—c'\

QTJAKANTE-CIWQtJIÈME LEÇON. Io3

Cette équation est celle d'une chaînette. Par conséquent le cercle et la chaînette sont les seules courbes dans

Fig. ii5.

dxr=z

lesquelles le rayon de courbure soit égal à la normale, avec cette différence que ces deux lignes coïncident dans le cercle, tandis qu'elles sont situées de part et d'autre du point de contact dans la chaînette, on a l'équation différentielle

^r ^^ dy ^sf^-^^

dx jr

vi^r-

Or, cette équation représente (I, 249) une cycloïde

Fig. 1

dont la base est sur l'axe des X, et dont le rayon du

cercle générateur est - • On

sait en effet que, dans cette courbe, le rayon de cour-

bure MK est double de la

normale MN.

40 /i = îi : il vient

dx =

sj^dx

d'où

cette équation représente toutes les paraboles qui ont l'axe des x pour directrice.

ÉQUATIONS HOMOGENES.

575. On peut abaisser d'une unité l'ordre d'une équation différentielle lorsqu'elle est homogène par rapport à ^ et à ses dérivées ; soit

dx'

io4

une telle équation, et soît n le degré de l'homogénéité. On pourra mettre l'équation (i) sous cette forme

Faisons d'où

dx d'y r , (du \

^V r ^ (d^u , du \

En substituant ces valeurs dans Téquation (a), on aura évidemment une équation différentielle de l'ordre m — i