Soît

Posons (i) ^~\ ^'^"'

z étant une fonction de x et de a tellement choisie, que

dz d^ z d'"~'^ z

^' di' '^' ' " ' lû^^ ^^^^"^ ^""'*^ P^"^ a == X, et que Ton ait pour cette même valeur

Ces conditions étant remplies, on aura

^•^""Jo ^-^

Zjp désignant la valeur que prend z lorsque a = x\ mais, par hypothèse, cette substitution annule z\ donc

on aura ensuite

d'r r^d'z , fdz\

, idz\ mais

se réduit à

f— j =o; par conséquent réquatîon précédente luit à

on trouve de la même manière :

|T^=X '^'''■■■' ^^=Jo ^==^ "'

En substituant ces valeurs dans l'équation proposée (I), on a

et il suffit, pour que Téqualion soit satisfaite, que Ton ail

Si, outre les conditions citées plus haut, z remplit cette nouvelle condition, j^ = / zda sera une intégrale particulière; en la désignant par «, et posant j^ = a -h i', Téquaiion (I) deviendra

td"'u ^d'"-^u ^^ ^,1 d'"f^

Or, la première partie du premier membre de cette équation est nulle par hypothèse; donc l'équation se réduit à

(II) -73;- -t- P -7 -f- . . . H- T — H- Up = 0.

Et si l'on peut intégrer généralement celte dernière équation, u-\-vf sera l'intégrale de l'équation proposée (I).

12a COUES D ANALYSE.

CAS OU LES COEFFICIENTS DE l'ÉQUATIOW (II) SOKT . CONSTANTS.

393. Quand on connaîtra l'intégrale générale de T équation (II), en y remplaçant x par x — a, on pourra profiter derindétermî nation des constantes arbitraires qu'elle renferme pour remplir les conditions indiquées plus haut. C'est ce qui arrive lorsque les coefficients P, Q,,.-? T, U sont constants.

En effet, /'i, r,, r,,..., r,„ étant les racines del'équalion

( I ) /( r) rn /^ H- P/-— • + . . . -f- T r -f- U = G,

on pourra écrire

z z= C. e''i(*-«) -f- C,^''«(*~«^ H- . . . -f- Ce'-'«(^-«), et pour satisfaire aux conditions dont il s'agit, on posera:

Cl /-,+ Ca /-,+... 4- C„ r^ = o,

C,rî-f-C,rî H-...H-C«r;« = o,

C, /•;«-» >f- C, rf-- + . . . -H C„ r^-^ = O, C, r^-- -\~ C, rj"-' -f- . . . -f- Cn^r^r" = F («)• En opérant comme au n° §82, on trouvera

tij -77; -5 t.2 -777 T-î'"! tifli -777 -1

et, par conséquent,

On aura donc / zda^ ou

/ [" c'-.('-«) F (a) , /*' e'-.C*-") F fa) ^

quabautb-septième leçon. i23

Mais on n'a ainsi qu'une valeur particulière à laquelle il faut ajouter l'intégrale de Tëquation

d^'v ^ d-^-^v dp

laquelle est

P = c, c"' -I- ce'»' + . . . H- c^cr„',

c,, Cl, . . . , c,„ désignant des constantes arbitraires. Ajoutons cette valeur au second membre de l'équation (2) et observons que

peut s écrire

.' [c. /'(n ) + f e-^'» F («) dal • on, en remplaçant Cj/'(r,) par fj,

•"■i* K, H- / c-'«''F{«)rfa

Tv:)

il en résultera

Ainsi, dans le cas des coefficients constants, Tintégrale de l'équation (I) s'obtient par des quadratures.

1^4 COURS D^ANALTSE.

CAS OU l'on CONNAIT UN CERTAIN NOMBRE d'iNTÉGRALES DE l'équation privée DU SECOND MEMBRE.