Si Ton connaît m intégrales particulières ji

y^,,..., j«, deTéqualion

on aura

^ = c, ri H- c,r, H- . . . -f- c«.7;„,

C|, Ct, . . . , Cm étant des constantes arbitraires. Or, on peut supposer que cette valeur de j^ satisfasse à Téquation

en regardant C|, C, , • . . , C^, non plus comme des constantes, mais comme des fonctions inconnues de x, qui n'ayant à remplir qu'une seule condition, savoir que la valeur de y satisfasse à l'équation (I), peuvent être liées entre elles par m — i relations tout à fait arbitraires. On choisit ces relations de manière que la détermination des fonctions CijCs, . . . , C« n'exige que de simples quadratures.

On a

dx dx dx dx

dC, , dC . dC„ -^^^dx-^^^dx^-'-^y" dx

Posons

dCi dCi , dCm ^'dx-^^'dx-^'--^^-'dx=''

Alors,

on aura simplement

dx dx dx dx

et celte expression de — est la même que dans le cas où

C, , Ct , . . . y Cm sont des constantes.

On aura de même

en posant

dy, dC^ ^ dy, dC^ ^ ^ df„ dCm ^ ^ ' {Le dx dx dx dx dx

puis

en posant

(^\ ^^^^^4- d\XmdC^^

/ ' dx' dx dx^ dx " dx* dx ^

On continuera ainsi à former les dérivées de j^ jusqu'à

^ inclusivement, en égalant toujours à zéro la somme

des termes qui renferment les différentielles de Cj,Cs,.^*> Cm* Enfin, on aura

d^ Y ^ d"* Ti ^ d"*Yt ^ d'"Ym

dx"' da^ dx* dx""

d'-'Xi dC, d'^^y. dC, d'-^Xm dC„

daf'*-^ dx djf^^ dx * * ' "^ é/j:"»-» dx '

dY d^ Y

En substituant ces valeurs de jr, — ? • • • » -j-;;^^ Téqua-

lîon (I) devient

^"-'r. £C, ^ d'-'Xr dC, ^ ^ d'"-\Yn, ^ y

i/x*"»— « fte dx^~* dx ' ' ' dx""^ dx

Or, }es polynômes qui multiplient CjjCsv^ d* sont nuls par hypothèse : l'équation précédente se réduit donc a

''^^ dlr"-' dx djc"*-' dx ' djL"*-' dx

Un a ainsi , pour déterminer -— > --— ? • • • > — — ? les m . * dx dx dx

équations (i), (a). . . . , (m). Supposons que leur résolution donn^

dQ*\ dÇ^ ^Cw Y

il en résultera

C, = c, + fXt dx, C, = c, + Tx, rfx, . . . , et, par suite,

r= (^1+ /x.r/arW.^-h (fj-h /Xj^arW, H

S95. Si P, Q, . . ., T, U sont des constantes, on peut prendre ji = e'"", jj = e'*»',..., j^ = e^-'; r,, r,,..., r«, étant les racines de Téquation

/(r) = r"» -f- P/--»-» H- Qr»-» -|- . . . 4- Tr -+- U = o, '

Dès lors les équations (i), (a),. . . . [m] deviennept

or «a: dx

dCi dCi dCm

dx ' dx^ ^"^ dx

Par la méthode d'élimination déjà employée (582, 593}, on aura

dC, V

dx " f\r,y

QUARANTE-SEPTIÈUE LEÇON. ISy

d'où

Vc-'"'rf.r

On aurait de même Cj, C3, . . . , C^, et, par suite,

ce qui est, au fond, la formule (3) du n° o93.