Désignons par A et B les valeurs de z et de —y
correspondant à une valeur arbitraire a: = a. Nous aurons, en intégrant deux fois de suite, entre les limites a et Xy les deux membres de l'équation (4) :
hJ a
2 = A + B(.r — a) -\- j dx j Rzdx; J a Ja
OU bien, enposant t= A-f- B (a: — a),
(5) z = t'h f dx j Kzdx.
Sî, dans le second membre de l'équation (5), on remplace z par la valeur que donne celte même équation, on aura
J = f -h I dx l Vitdx
J a Ja
J/^X pX f%X f%X
dx j fidx j dx j Kzdx, a *J a va */ a
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QUARANTE-HUITIÈME LEÇON. l47
et, en remplaçant encore z par la valeur (5),
Jr*x r*x /%x r*x px /%x
' dx j Kedx -^ j dx Kdv I ^^ f R'^^-^
Jf*x /*x /*x /•x /*x r*x
dx I Kdx f dx I Kdx j dx j Rzdx..
615. En continuant aînsî, on obtient pour la valeur de ^, une suite indéfinie
(8) z^t-^-j dxl Ktdx-\
dont chaque terme, à l'exception du dernier, se déduit du précédent en le multipliant par RJx', et en intégrant^ par rapport à x, deux fois entre les limites a et x. Le dernier terme se forme d'après une loi analogue, mais il contient «toujours la fonction inconnue z. Cependant^. le développement (8) pourra servir au calcul de la valeur approchée de z, si, à mesure que le nombre des termes augmente, le dernier tend vers o. C'est, en effet, ce qui arrive quand la fonction R ne devient pas infinie dans l'intervalle où l'on fait varier x.
Pour le démontrer, supposons que x croisse d'une manière continue depuis la valeur a jusqu'à une valeur quelconque b. Soient M, |ut, C les plus grandes valeurs de R, Zy tj dans l'intervalle considéré. On aura, en valeurs
absolues,
R<M, z<fx, e<C;
le signe <^ n'excluant pas l'égalité. Si Ton trouve pour [i ane valeur finie, il sera démontré que z ne peut pas devenir infinie entre les limites a et b, . Or, en premier lieu, on a, dans cet intervalle,
Rf<CM, donc
XRtdx<: f CMdxy J a
lO.
i48 COURS d'akalyse.
ou
/ R/^j:<CM(jc--a).
De là on lire, en intégrant successivement ;
r dx j R^x r dx f Ktdx<CCW ^ j-^
\ dx i B.dx j dx j Tidx f dx f R^é/jr<G]VP ''^"~^ ->
et ainsi de suiie.
D'un autre côté, on a
Rz<uM, d'où
I R z i/x •<; f* M ( .r — a), \ dxi Rzéfx<pM^-^^^ ^,
dx I ^dx j dx I Kzdx<:iiW— ~-5
et ainsi de suite. Donc, en arrêtant le développement de 2 î TZ -}- 1 termes, le dernier sera moindre que y.M" '
I .a. . .2/ï D'après ces inégalités, on déduit de l'équation (8)
et, à fortiori^
QUARANTE-HUITIÈME LïlÇON. l49
car on a
On sait que — ou — — • — — — ^ peut deVenir
moindre que toute quantité donnée s, quand n est suffisamment grand . Donc, si Ton désigne par K la plus grande
valeur de - C [e('-«)v/*» + e-(*-«)v^] 9 quand x varie de a à 6, valeur qui est inflépendante de zî, on aura
z<K-f- fit*.
Cette inégalité ayant lieu pour toutes les valeurs de x comprises entre a et i, on peut remplacer ^ par sa plus grande valeur fx, et l'on aura
Ainsi, fA ne peut pas devenir infini, et, par conséquent, le reste de la série (8) 5 qui est moindre que (JtM" — >
tend vers o, ce qu'il fallait démontrer. «
616. On arrive encore à la formule (8) (615) par k méthode suivante ; Posons
Mo> Ml, Uj, . . . , étant des fonctions de x que nous allons déterminer. On doit avoir — = R2 (613), ou
iPu^ fPUi cPui . „ .
Or, on satisfera à cette équation en posant
(0 =05 -i — =Rtto, -— — = Rwt, ..
i5o COURS d'analyse
En supposant que Ton ait i/o = A, -7-^ = B pour a: = û,
dux du^ , ,
et que Uj, Uj, . . ., — — ? 7/""'*' *' ® annulent pour a: =:=û,
ux ux
on tire des équations (1) :
\ dx I l\dx j dx j Vitdxj
On démontrera que la série
est convergente, comme on l'a fait n° 615,
d'" z On traitera de la même manière l'équation -— -^Tl-î,
et l'on aura une série dont chaque terme s'obtiendra en multipliant le précédent par Rrfx"*, et intégrant m fois.
617. Comme application de cette méthode, considérons l'équation du second ordre
à laquelle se
réduit
l'équation dite de Riccati
en posant
I dz
Pour plus de simplicité, supposons a = i, et prenons toutes les intégrales indiquées au numéro précédent, entre
Dlgltl
QUARANTE-HUITIÈME LEÇON. l5l
les limites o et a: : nous aurons
Multipliant par x"'dx^ et intégrant deux fois entre les limites o et or, il viendra
(m -\-i)(m-h 2) {m -I- 2) (/w H- 3) Nous aurons de même successivement
Bx"'^
et ainsi de suite.
Par conséquent, la valeur de z sera
ï=Arn-
(iw + i)(/jH-2) (/»+i){ni-(-a)(2«+3)(2/»-l-4)
'*'(/w4-0 ('"+2} (a'^'-hS) (2/w 4-4) (3/714-5) (3///4-6) H- BU 4- ; : — TT — r-^ -+
"^(/7i 4- 2)(/7i4-3) (2/714-4) (2//i4-5j(3/// 4-6) (3/w 4-7) "j' Quand m = o, cette formule se réduit à
qui est bien Tintégrale de Téquation
COt'RS D ANALYSE.
INTÉGRATION d'uNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE A l'AIDE
d'intégrales définies.
618. Soît l'équation différentielle du second ordre d^r m dy *
m et h^ désignai! l deux constantes : admettons que son intégrale puisse être développée en série convergente procédant suivant les puissances ascendantes de x, et posons
En substituant cette valeur dans l'équation (i), on aura
Aa{a — l) -f- wAa
-h T.h'kx'^ -4- 2A'B.r^ -1-...4- 2/i*L;r^ + 2A»Ma-^- 4-...=o.
Pour que cette dernière équation soît identique, il faut d'abord qu'on ait
c'est-à-dire
a :=: O, ,OU a zn: i — m.
Si l'on prend d'abord a = o, et que l'on procède comme il a été indiqué au n^ 611, on trouvera la série
Si l'on fait a = 1 — m, on aura par le même procédé
L 1.(3 — ///) • 1.2.(3 — mj^Ô—w) "j'
Ji et j^2 sont deux intégrales particulières contenant chacune une constante arbitraire. Leur somme yi -f-ja sera donc l'intégrale générale.
QTTABAnTE- HUITIÈME LEÇON. l53
619. On peut remplacer les sérîes^i ety^ par des intégrales définies. En effet, entre les coefficients L et M de deux termes consécutifs de la série j^j, on a la relation
/i'L = M/> (i — m — ip).
Or, on déduit de la formule (B) (I, 372) une relation analogue entre deux intégrales définies, savoir :
I cos*P a sin'"-^ ada= I cos^P"^ a sin"»-* a dot.
Le rapport de ces deux intégrales est, à un facteur con-
cos*/'asin'""-'a</a.
stant près, égal au rapport —; si donc on pose
M = kp Hc
L = Ap^t f cosV-' a sin"»-' a t^ a , Jo on aura
M Ap 7,p — I h}
L A^, ip -\- m — I p\\ — m — '>.p) ' donc
D'après cette formule, et comme h ^ n'est autre chose que A, on aura
par conséquent,
M„ = A-^ 1— 1 cos^asin^-'aûfa
P \.2....ipJ^
et
^ i—2h')Px^p r^
ri=: > A^ I cos'^asm'^'arfa,
^j 1.2. ..ip J^
ou bien,
ri = A / sin»"-
HaisTexpression entre parenthèses égale cos {hx \ficos(x] : >n a donc enfin
^1 = A I cos {hx^cosa) sin"*-' arfa.
Jo
La seconde série se déduit de la première en changeant 71 en 2 — m 5 donc
' C0s(//.xy/2C0Sa)sin'--'"af/a.
620. La valeur de j-i devient illusoire quand on a m = a 3U m <^ o. En effet, si m = o, l'inlégrale
' cos {hx j^ cos a ) sin*"""* otda
5St plus grande que
Jo «
k désignant une quantité moindre que la plus petite iraleur de cos {hx y^cosa) quand a varie de o à 7r. Or,
I — = 00 . Donc la première intégrale est infinie quand
71 = o, et à plus forte raison quand on a m <^ o..
De même la seconde intégrale n'aura une valeur finie que si 2 — m est positif.
Doncj^'i -hj'i ne représentera l'intégrale générale que si m est compris entre o et 2. En dehors de ces deux limites, Tune des deux formules tombera en défaut, maïs l autre subsistera et servira à trouver l'intégrale générale par le procédé du n° 608.
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QUÀRÀIÏTE-HUITIÈME LEÇON. l55
021 . Examinons maintenant quelques cas particuliers. 1° TO = o. L'équation se réduit à
Pour déduire son intégrale des formules précédentes, observons que la valeur de j^j, qui est encore admissible, se réduit à
^2= A' or I cos(/ia: y^2cosa)sinafl?a
Jo
= — — : I cos{hxsficosai)d{hx\ficosaL)
h v^ Jo
= Csin(/i-c v^).
Au moyen de cette première intégrale on trouvera
7 = rsin {hx y/ï) + c' ces {hx y/â).
a° /»= 2. La valeur de js est illusoire, mais celle de Yi subsiste et donne Csin(/ia?Y^) pour intégrale particulière. Ou en déduit l'intégrale générale
c sîn [hx v/2 ) -H r' cos ihx^)
3° w = I . Le rapport de yi à y^ est constant, et ces deux intégrales ne sont plus distinctes. Dans ce cas, ou posera /w = i -h A, et l'on appliquera le procédé de d'Alembert (585).
EXERCICES
Solution :
iatSgrale particulière.
i56 COURS d'analyse.
^ d^y i dy dx
Solution :
intégrale particulière.
QUARANTE NEUVIÈME LEÇOW. l^J
