Soient

^f df d'^y dz dPz\

d^x dz d9z\

djC" ' €ix dxl)

deux équations quî renferment deux fonclîonsj^ elz d'une variable indépendante x^ et leurs dérivées de divers ordres. En éliminant y entre ces équations, on obtiendra une équation diflérentielle à une seule fonction z, et dont l'intégration fera connaître z.

Pour opérer cette élimination, on différentiera n fois la première équation, et m fois la seconde; on aura ainsi m + n -f- 2 équations entre lesquelles il sera possible d'éliminer, par les moyens ordinaires de l'algèbre, les

dy d^Y d"*-^''Y T » •

w 4- w -f- 1 inconnues j, — , -^ , . . . , -^-^^^ . L equauon

finale sera, en général, d'un ordre égal au plus grand des deux nombres n + p^ m-f-^; toutefois cet ordre peut être moindre, si l'élimination a pu s'effectuer sans employer les m -h « -f- 2 équations.

623. Plus généralement, si l'on avait r équations différentielles contenant une variable indépendante x et r fonctions j", z^ m, . . . de cette variable, on éliminerait y entre ces r équations, ce qui donnerait r — i équations

l58 COURS D ANALYSE.

entrer, m,.... On éliminerait ensuite z entre ces r—i équations, et ainsi de suite. On arriverait ainsi à une équation différentielle ne renfermant plus qu'une ^eul( des fonctions inconnues.

SYSTÈMES n'ÉQUATIOUrS DU PREMIER ORDRE ÉQUIVALEWTS 4 XJWE OU PLUSIEURS ÉQUATIONS d'uN ORDRE QUELCONQUE.

624. On peut remplacer une équation différentielle d'un ordre quelconque à deux variables par un système d'équations simultanées du premier ordre, en représentant par une lettre chacune des dérivées, excepté celle qui est de l'ordre le plus élevé. Ainsi l'équation

/ dY d'^y d^y\

est évidemment équivalente aux équations suivantes :