SUITE DES ÉQUATIONS SIMULTANÉES
Équs^tioDs linéaires : cas de deux équations^ méthode de d'Alemhert; — cas de trois équations. — Réduction du cas général au cas où les équations sont privées de second membre. — Méthode de Cauchy. — Re« marque sur les équations linéaires.
CAS DE DEUX ÉQUATIONS, MÉTHODE DE d'aLEMBEKT.
633. Sî Ton a deux équations linéaires du premier ordre entre une variable indépendante x et deux fonctions j^ et z de cette variable, en éliminant, tour à tour,
-7- et -7-? on obtiendra deux équations de la forme sui-
dj: dx '■
vaijte :
Pj Q5 Vj I^'» Q'5 ^'5 désignant des fonctions de x.
Ou pourrait appliquer à ces équations le procédé d'élimination exposé plus haut (622), et Ton parviendrait à une équation linéaire du second ordrene contenant qu'une seule fonction inconnue^ mais il est plus avantageuse d'employer la méthode suivante, qui a été imaginée par d'Alemberl, et perfectionnée par Ampère.
Ajoutons les équations (i) après avoir multiplié la seconde par une indéterminée : nous aurons
Si 6 était une constante, -; — h ^ ^- serait la dérivée de djc dx
y -^Qz^ posons donc
(3) tz=zy-^H,
CII??QXIA»TIÈME LEÇON, 167
il en résulte j^ =:t — Oz et
dj Bdz __ dt dB
dx dx dx dx
L'équation (2) devient alors
Comme z n'entre ici qu'à la première puissance, on éliminera cette fonction en égalant son coefficient à zéro, et Ton aura les deux équations
(6) • 4^-i-(p-i-FG)? — V — ve — o.
dx
L'équation (5) ne contient que et x\ elle détermine donc 0. Mais, quoique du premier ordre, elle n'est pas linéaire, et l'on ne sait pas, en général, l'intégrer. Cependant, si l'on en connaît seulement deux intégrales particulières 01 et 0j , la question proposée pourra être résolue.
En effet, ces intégrales particulières étant mises à la place de dans l'équation (6) qui est linéaire, on obtiendra deux valeurs correspondantes de f, ^i et f ,, contenant chacune une constante arbitraire. On aura ensuite j" et z au moyen des deux équations
Les valeurs de j^ et de z ainsi obtenues contiendront deux constantes arbitraires, puisque t^ et t^ en contiennent chacun une.
634. Dans le cas où les coefficients P, Q, P', Q' sont constants, on peut supposera constant dans l'équation (5), qui se réduit alors à
Cette équation est du second degré et donne deux racines
i68 COURS d'analyse.
constantes que l'on peut prendre pour ôi et 6f , si ces racines sont inégales.
Si les racines de Téquation (7) étaient égales, on n'aulaît qu'une valeur de 0. Mais, dans ce cas, l'équation (5), en supposant variable, peut se mettre sous la forme
OU
équation dont l'intégrale générale est
) = aH-
Comme on n'a besoin que de deux valeurs particulières de 0, on les choisira de la manière la plus simple en faisant successivement c = o, c = 00 , d'où
G, =aH----~» 02 1= a.
Les équations (i) peuvent donc toujours être intégrées quand les coefficients P, Q, P', Q' sont constants.
