I . dx dY dz du

un système d'équations simultanées. Nous avons vu qu'il Sturm. — ^/i., 11. Il

i6a COURS d'analyse.

existe troîs éaualîous intégrales,

iFi (^.r, 2. «> ^» ^', ^") = o, F2(x,^', z, 1/, c, c', c") z=o, Fa (^, r> 2» "> ^» c'> c^) = o,

c, c', c^^ étant des constantes arbitraires. Ces équations, résolues par rapport aux constantes, peuvent être remplacées par le système

a, 6, y désignant trois fonctions de x, j^, ^ et w, sans constantes arbitraires. On peut donc trouver trois fonctions de x^jj «, u qui conservent des valeurs constantes quand on y fait varier simultanément toutes les variables.

Remarquons d'abord que les fonctions P, Q, R, V ne peuvent pas être, à la-fois, identiquement nulles, car les équations (i) n'offriraient alors aucun sens.

Admettons que P ne soit pas identiquement nul, et prenons x pour variable indépendante. Je dis que Pne pourra pas même s'annuler constamment en vertu des équations (3). En effet, l'équation P = o ne renfermant pas de constante arbitraire, on ne pourrait pas se donner à volonté des valeurs de j, z, u pour une valeur quelconque de X.

Supposons donc P différent de o. En différentiani l'équation a = c, on a

/ rv doL , dx ^ dot. . doL .

(4) T- "«^ H — T dy -\ — r~ dz -h -rr du = o , ^^' dx dy dz du

Mais 0L = c étant une intégrale des équations (i), les différentielles dx^ dy^ dz^ du doivent être proportion nelles à P, Q, R, V , on aura donc

,~v -w^doL ^ doL ^ dct „ ^«

QUARANTE-NEUVIÈME LEÇON. l63

Cette équation doit être identique •, autrement elle établirait une relation entre les variables x^y^ z et w, e4 l'on ne pourrait pas donner des valeurs arbitraires à j^, z^u pour une valeur particulière de x.

On aura donc les trois équations identiques

dx dy dz du '

\ dx dy dz du

630. Réciproquement, si Von trousse une fonction 6 des variables a:,/, z^ w, sans constante arbitrai? e, telle, nue Von ait identiquement

dO 'd9 ^ dO „ d9

r équation

sera une intégrale des équations simultanées de dy dz du

En effet, on a

/dB dO dy dQdz dQdu\^ \dx dy dx dz dx du dx J ^

doncjy, z et u étant des fonctions de x telles, que Ton ait

dy Q dz 1X du V

on aura

dx^ J^' dx P ' dx^ P^

mais la quantité reirfermée entre parenthèses est nulle par hypothèse, donc

dO irr O, ou B = C,

II suit de là que si Ton trouve trois fonctions a, 6, y qui

ii«

l6i COURS D^AMALYSE.

substituées à satisfassent identiquement à Féquation (i), les équations

(3) o: = c, ^ = c', y = c^ seront les intégrales des équations (2).

63 1 . Des intégrales ( 3 ) peuvent se déduire une infinité d'autres intégrales, car x^j^ Zy u variant de manière que les fonctions a^ ë^ y conservent une valeur constante, toute fonction de la forme cp (a, 6, y) conservera aussi une valeur constante.

On peut d'ailleurs vérifier directement que l'équation

est une intégrale des équations (2). En effet, on a

dx~

dff da. d<^ d^ d<f dy ~ dot dx d^ dx d-j dx

df da. d(f ûfê d^ dy ~ da. dy d^ dy dy dy^

d^^ dz

d^ da ^ dff dZ do dy ~ da dz d g dz dy dz

drf^ du'

d<f da d(f d^ dtf dy ~ da du d^ du dy du

Si Ton multiplie ces équations respectivement par P, Q, R, V, et qu'on les ajoute, le second membre sera nul eu vertu des équations (6) du n° 629. On aura donc

^ do ^ do ^ do „ do dx dy dz du

c'est-à-dire que cy mis à la place de satisfait à l'équation (î). Donc cp = c est bien une intégrale des équations proposées.

632. On peut même démontrer que toute fonction 6 de Xy y^ Zy u qui satisfait à V équation

. N «^® r^dQ ^ dB ^dQ

QUARANTE-NEUVIÈME LEÇON. l65

doit se réduire à une fonction de a, 6, y. En effet, soit

(2) e = cj(a:,/,z,a);

posons

(3j a=/,(x,7,z, a), ^=f^{x,yyZyU), -^ =f^{x,y,Zyu)\

on peut tirer de là les valeurs de y^ z, m en fonction de a, 6, y et x\ en les substituant dans la valeur de 9, on aura

Or, je dis que x ne doit pas entrer explicitement dans cette équation. En effet, en mettant cette valeur de dans l'équation (i), on aura

/ dn doL diT dZ dn dy dirX \dx djc d^ dx dj a'x dx)

Q{ drc doL fi^ir d^ drc dy\ ( j 1 L\ \d(x, dy d^ dy dy dyj

( dît doL dit d^ dn dy\ \d(x, dz d^ dz dy dz )

„ I diz dy. dtz dît diz dy\

\do. du d^ du dy du ]

Mais les fonctions a, ?, y satisfaisant à l'équation (i), Téquation (5) se réduit à

^ dif

d'où

di:

puisque P ne peut être nul que pour des valeurs particulières des variables. Ainsi, la fonction tt ne contient pas X explicitement, et se réduit à une fonction de c:, 6i7.

i66 COURS d'analysb