AUTRE MÉTHODE

637. On peut suivre dans l'intégration des équations linéaires simultanées la même marche que dans les équations différentielles ordinaires, c'est-à-dire ramener le cas général à celui des équations privées de second membre. Nous allons effectuer cette réduction dans le cas où les coefficients des premiers membres sont constants.

Remarquons d'abord que si l'on connaissait trois sys^ lèmes de fonctions (/i, ^i, u,), (j», z^^ u,), (/s, Zj, u^) satisfaisant aux équations

^-hPr +Q« +R« =o>

dx -^ ^

iy2 corns dàvalyse.

on y satisferait encore en posant

a = f , tt, H- r, Ma -f- Cj W3 ,

comme on s'en assure par la substitution, et Ton aurait les intégrales générales, puisque ces formules contiennent trois constantes arbitraires c^, c,, r,.

Cherchons maintenant à résoudre les équations (I) par des valeurs de la forme

(i) r = c-"^', z=:f*tf-P', tt^ve-/^',

pj jui, V désignant des constantes inconnues. La substitution de ces valeurs donnera les équations

iP — P + Qfi4-Rv = o, I

L'élimination de ju et de v entre ces équations conduit à une équation du troisième degré en p, la même que l'on a déduite (636), par l'élimination de 9 et de A, des équalioDS

IP — p-4-P'e-*-P''^ = o, I

Q+(Q'-p)Ô + Qn = o, R-Ï-R'Ô4-(R''— p)^ = o,

car on arriverait à ce dernier système en ajoutant les équa- | tions (2) respectivement multipliées par i, 6 et 1, et en déterminant d et X de manière que les termes qui contiennent /jt et V disparaissent d'eux-mêmes.

Les trois valeurs de p étant désignées par pi, jOj, jCj, et 1 les valeurs correspondantes de a et de v par jix,, ]w,, /:/$» | Vi, Vj, V8, on aura trois solutions particulières d'où Ton | déduira la solution générale

CINQUANTIÈME LEÇON. iy'6