On ramène à l'un des cas précédents l'équation

F étant une fonction déterminée, ç(a) une fonction arbitraire, et a une fonction déterminée fi{x^j^z). En effet, si Ton pose

r^^«ef![

l- . d'où résulte

i8a COURS d'analyse.

on aura

Ainsi, Téquation (i) établit une relation arbitraire entre deux fonctions déterminées des variables x^y et z,

648. Soient maintenant trois fonctions déterminées de quatre variables, a:, y^ z et u^ savoir :

(i) a=/,(a;,j, «, a), 6r=/,(x,^, z, «), 7=/3(jr, j, z, «),

|- et cp une fonction arbitraire ; supposons que Pou ait Fé-

^f quation

Jr Posons, pour abréger,

\ du du du

[ et différentions l'équation (2), tour à tour, par rapport

\- k x^ y et z] nous aurons

da,

\^ rfa^/ é/6 \c/x ^ é/«^/ ^7 \rf^ ^ du ^1 ^ '^ \da\dx^ du^J d^\dr^du^J^dy\dj^du^)

//z É?a / d^ \dz du ) d'^ \dz du ]

L'élimination des rapports -—-l^i 3^ • t^ entre ces

*^^ doL dy «5 dy

trois équations conduira évidemment à une équation aux dérivées partielles de la forme

(4) P/>-f-Q^4-Rr = V.