Exemples, i**. L'expression devient

pour jc = a. Or la dérivée de x^ — a"* est maf""^ , et celle

de j: — a est i : donc la vraie valeur de est nia"*~^

pour x = ay quel que soit m.

2**. En appliquant la même règle, on trouve que, pour

, . , j ^ — /iax^-^ 5a^x — 2 a*

xz=z a . la vraie valeur de ; ; est

o , et c'est ce que l'on peut voir autrement, car

donc la fonction donnée est égale à

' {x^a)[x-\' a) or + rt

expression qui devient bien o pour a:==a.

3**. Soit . Pour j:= o, cette fonction devient -:

la dérivée de sin x est cos x , et celle de x est i ^ donc la

,. . , sina: ^

limite de est i pour x = o.

Ce résultat doit être considéré comme une vérification , mais non comme une démonstration , puisque nous n'avons obtenu la dérivée de sin x qu'en nous appuyant sur sin^

ce théorème, que lim est i pour x == o.

i3o COURS d'analyse.

4®. En appliquant la même théorie, on trouve lim

pour a: = o ; cette limite est o.

On y arrive aussi de la manière suivante :

,. sin'j: ,. sinx,.

lim = hm hm sin j: =r 1 X o = o.

On aurait de même ,

,. tangx ,. sinor.. i X X ces or

5**. Limite de '■ — : pour jc = o.

X — sm x *

On trouve successivement

<p' {x) g*4-g-*— f'{x) ~" 1 — cosa;

JLJ — i ::::: = - pour JP = O ;

/'{xj 1 — cosx o ^

__ . pour j: = o ;

/''(x) sin* o ^

UlJ. ::=: — = 2 pour X = O.

/"'(x) cosa: ^

La limite chercliée est donc égale à 2.

On serait parvenu à ce résultat, en remplaçante', e' et sin X par leurs développements en séries. En effet,

e"' =1 — X sin j? = X —