L^ORURE DU CONTACT EST INDÉPENDANT DU CHOIX DES AXES

- 227. L'ordre du contact est indépendant de la direction des axeSy pourvu que l'axe des ordonnées ne soit pas parallèle à la tangente commune aux deux courbes.

On pourrait démontrer ce théorème en employant les formules générales de la transformation des coordonnées, et faisant voir que les dérivées des ordonnées des deux courbes sont encore égales dans le nouveau système d'axes

DIX-JNEUVIÈME LEÇOir. 2o3

jusqu^au /i'^'"* ordre , si n était l'ordre de contact dans le premier système. Mais on peut y parvenir plus simplement par des considérations géométriques.

Soient CMJN , CM'N', les deux courbes tangentes en M. Par le point M menons une droite quelconque, mais différente de la tangente au point M.

Son équation sera

Soient

les équations des deux courJ)es. Considérons les ordonnées de ces trois lignes correspondant à un point N pris sur la première ; on aura encore

" 1.2. 3. ..(«-+- i) \d^' dx^-^^ H- a j '

et puisque , par supposition , la droite menée par le point M est différente de la tangente,

Par suite ,

NN' €/ar»+' ~" djc^-*-' "*" ** 1

(NN")»^^ fdr^^A i.2.3...(/i-i-i).

On voitdoncque le rapport ^^|^,/^v^i^::r tendra vers une limite

Or, quand h tend vers o , a et 6 tendent aussi vers o.

finie.

On peut donc dire que si le contact est du »**'"' ordre,

le rapport :;^„ sera un infiniment petit du n'^'"* ordre.

La réciproque est d'ailleurs évidente.